/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Dowolny/Czworościan

Zadanie nr 4988582

Oblicz objętość ostrosłupa trójkątnego ABCS , którego siatkę przedstawiono na rysunku.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Z narysowanej siatki widać, że mamy do czynienia z ostrosłupem, którego podstawa jest trójkątem równoramiennym, a wszystkie krawędzie boczne mają długość 65. Szkicujemy taki ostrosłup.

PIC

Niech D będzie spodkiem wysokości ostrosłupa. Zauważmy, że każdy z trójkątów ADS ,BDS i CDS jest prostokątny z przyprostokątną długości SD i przeciwprostokątną długości AS = BS = CS . Trójkąty te są więc przystające, czyli AD = BD = CD . To oznacza, że punkt D jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC .

Obliczmy teraz promień R okręgu opisanego na trójkącie ABC . Można to zrobić ze wzoru na pole P = abc 4R , ale my zrobimy to bardziej wprost, z twierdzenia sinusów.

Obliczmy najpierw długość wysokości podstawy

∘ ---2------2 √ ----------- √ ----- CE = BC − BE = 1600 − 57 6 = 1024 = 32.

Liczymy promień okręgu opisanego.

BC BC 40 40⋅ 40 2R = ------- = CE--= 32-= -------= 2 ⋅5 ⋅5 ⇒ R = 25. sin ∡A AC- 40 32

Możemy teraz obliczyć długość wysokości ostrosłupa – patrzymy na trójkąt prostokątny BDS .

∘ --2-------2 ∘ --2-----2- √ ----- DS = BS − BD = 65 − 25 = 3600 = 60 .

Możemy teraz obliczyć objętość ostrosłupa

1 1 1 V = -Pp ⋅SD = --⋅--⋅48 ⋅32⋅ 60 = 153 60. 3 3 2

 
Odpowiedź: 15360

Wersja PDF