Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5567063

Trójkąt ABC jest podstawą ostrosłupa ABCS . Punkt M jest środkiem boku AB i |AM | = |MC | . Odcinek AS jest wysokością tego ostrosłupa. Wykaż, że kąt SCB jest prosty.

Wersja PDF
Rozwiązanie

W rozwiązaniu tego zadania najważniejsze są: wyraźny rysunek i odrobina wyobraźni.


PIC


Zacznijmy od punktu M . Z podanych informacji wynika, że jest on środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC (bo jest równoodległy od wszystkich trzech wierzchołków). W takim razie odcinek AB jest średnicą tego okręgu, czyli kąt ACB jest oparty na średnicy, czyli prosty. Zapamiętajmy zatem, że  ∘ ∡ACB = 9 0 i możemy zapomnieć o punkcie M .

Ponieważ SA jest wysokością ostrosłupa, płaszczyzny ACS i ABC są do siebie prostopadłe. Ponadto, jak już zauważyliśmy, odcinek BC jest prostopadły do krawędzi wspólnej tych płaszczyzn, czyli do AC . To oznacza, że odcinek ten jest prostopadły do płaszczyzny ACS . W takim razie jest on prostopadły do każdej prostej zawartej w tej płaszczyźnie, w szczególności jest prostopadły do SC . Zatem ∡SCB = 90∘ .

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!