/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Dowolny/Czworościan

Zadanie nr 6975521

W ostrosłupie, którego podstawą jest trójkąt równoboczny o boku a , jedna z krawędzi bocznych jest prostopadła do podstawy. Dwie pozostałe krawędzie tworzą z podstawą kąty o mierze α . Znajdź pole największej ściany bocznej oraz tangens kąta nachylenia tej ściany do płaszczyzny podstawy.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

Zaczniemy od wyliczenia wysokości DE trójkąta ABD . Z trójkąta ADC wyliczamy długość odcinka AD .

AC-- = co sα ⇒ AD = AC---= --a--. AD cosα cos α

Teraz z trójkąta prostokątnego AED wyliczamy DE .

∘ ------------ ∘ ----------- ∘ ----2------2 -a-2-- a2- a- 4-−-cos2-α DE = AD − AE = cos2α − 4 = 2 cos2 α = ∘ ------------------ ∘ ----------- a- 4-sin2α-+-3-cos2α- a- 2 = 2 cos2 α = 2 4 tg α + 3.

Zatem pole trójkąta ABD jest równe

1 1 2∘ ---2------- PABD = 2AB ⋅DE = 4a 4tg α+ 3

Mamy

CD-- AC = tg α ⇒ CD = a tg α √ -- CE = a--3-. 2

 Zatem

√ -- CD atg α 2 3tg α tg ∡CED = ----= --√---= --------. CE a23- 3

 
Odpowiedź: Pole: ∘ ----------- 1 2 2 4a 4 tg α + 3 , tangens: √ - 2--3tgα 3

Wersja PDF