/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Dowolny/Czworościan

Zadanie nr 8202697

Podstawą ostrosłupa o objętości 30 jest trójkąt równoramienny o ramieniu długości 5 i podstawie długości 6. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa wiedząc, że wszystkie krawędzie boczne mają jednakową długość.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Niech D będzie spodkiem wysokości ostrosłupa. Zauważmy, że każdy z trójkątów ADS ,BDS i CDS jest prostokątny z przyprostokątną długości SD i przeciwprostokątną długości AS = BS = CS . Trójkąty te są więc przystające, czyli AD = BD = CD . To oznacza, że punkt D jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC .

Obliczmy teraz promień R okręgu opisanego na trójkącie ABC . Można to zrobić ze wzoru na pole P = abc 4R , ale my zrobimy to bardziej wprost, z twierdzenia sinusów.

Obliczmy najpierw długość wysokości podstawy

∘ ----2------2 √ ------- BE = AB − AE = 25 − 9 = 4.

Liczymy promień okręgu opisanego.

AB AB 5 25 2 5 2R = -------= BE--= 4-= --- ⇒ R = ---. sin ∡C BC- 5 4 8

Obliczmy teraz wysokość ostrosłupa z podanej objętości.

30 = V = 1-⋅ 1-⋅AC ⋅BE ⋅ SD = 1-⋅6 ⋅4 ⋅H 3 2 6 30- 1-5 H = 4 = 2 .

Teraz z trójkąta prostokątnego ADS obliczamy długość krawędzi bocznej.

∘ ------------ ∘ --------- ∘ ----------- AS = AD 2 + SD 2 = R 2 + H 2 = 6-25 + 225-= 64 4 ∘ ------- ∘ ---- = 5- 25-+ 9 = 5- 169-= 65. 2 16 2 1 6 8

Teraz z trójkątów prostokątnych AES i AF S obliczamy wysokości ścian bocznych.

∘ --------- √ ----- ∘ ---2------2- 4225- --364-9 SE = SA − AE = 64 − 9 = 8 ∘ ------------ ∘ ----------- ∘ ---------- √ --- SF = SA 2 − AF 2 = 4225-− 25-= 5 169-− 16-= 15--17-. 64 4 64 64 8

Pole powierzchni bocznej jest więc równe

√ ----- √ --- 1 3649 1 1 5 17 Pb =PASC + 2PASB = --⋅6 ⋅-------+ 2⋅ -⋅5 ⋅------- = √ ----- √2--- 8 2 8 3--3-649+--75--17- = 8 .

 
Odpowiedź: √---- √-- P = 3-3649+75-17- b 8

Wersja PDF