Zadanie nr 9228274

Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt ABC o bokach długości 18 cm i 12 cm, którego kąt między tymi bokami ma miarę równą 60∘ . Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa ABCS mają długości równe 12 cm. Ostrosłup ten przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy i dzielącą jego wysokość w stosunku 1:2, licząc od wierzchołka tego ostrosłupa. Wykonaj rysunek ostrosłupa ABCS z zaznaczonym przekrojem i oblicz:

obwód otrzymanego przekroju,
objętość tej z brył wyznaczonych przez przekrój, która nie jest podobna do ostrosłupa .

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku.

Zauważmy, że otrzymany ostrosłup jest podobny do ostrosłupa w skali . Zatem obwód trójkąta jest równy obwodu trójkąt . Aby wyliczyć obwód trójkąta , musimy wyliczyć długość boku – możemy to łatwo zrobić z twierdzenia cosinusów.
$2 2 2 ∘ AC = AB + BC − 2AB ⋅BC cos6 0 2 2 2 1 AC = 1 2 + 1 8 − 2 ⋅12 ⋅18 ⋅--= 144 + 324 − 21 6 = 252 √ -- 2 AC = 6 7.$

Zatem obwód trójkąta jest równy

$1 1 √ -- √ -- -(AB + BC + AC ) = --(12+ 18+ 6 7) = 10 + 2 7. 3 3$

Odpowiedź:
Plan jest następujący: objętość interesującej nas bryły to różnica objętości dużego i małego ostrosłupa. Z podobieństwa tych ostrosłupów, ta różnica objętości jest równa
$V − 1-V = 2-6V , 27 2 7$

gdzie przez oznaczyliśmy objętość ostrosłupa . Do wyliczenia brakuje nam wysokości ostrosłupa. Ponieważ wszystkie krawędzie boczne są równe, spodek wysokości ostrosłupa to dokładnie środek okręgu opisanego na trójkącie (bo trójkąty i są przystające). Zatem do wyliczenia wysokości potrzebna nam jest długość promienia okręgu opisanego na trójkącie . Tę jednak możemy łatwo wyliczyć z twierdzenia sinusów.

$√ -- -AC---- 6--7- √ --- sin 60∘ = 2R = 2AO ⇒ AO = √ 3 = 2 21.$

Stosujemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie .

$∘ ------------ √ --------- √ --- √ --- SO = AS 2 − AO 2 = 144− 84 = 60 = 2 15.$

Wyliczmy jeszcze pole podstawy ostrosłupa.

$√ -- 1- ∘ 1- --3- √ -- PABC = 2AB ⋅BC sin 60 = 2 ⋅12 ⋅18 ⋅ 2 = 5 4 3.$

Zatem interesująca nas objętość jest równa

$26 26 1 26 1 √ -- √ --- ---V = ---⋅--PABC ⋅SO = ---⋅--⋅54 3 ⋅2 15 = 27 27 √3-- √ -- 27 3 = 26 ⋅2 ⋅2 5 = 10 4 5.$

Odpowiedź: