/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Dowolny/Czworościan

Zadanie nr 9584258

Podstawą ostrosłupa trójkątnego ABCS jest trójkąt prostokątny ABC , w którym |∡ACB | = 9 0∘ i |AC | : |BC | = 15 : 8 (zobacz rysunek). Punkt D jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC , a odcinek SD jest wysokością ostrosłupa. Objętość ostrosłupa jest równa 8, a pole ściany ABS jest równe 17. Oblicz długość krawędzi SC ostrosłupa

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Podany stosunek długości przyprostokątnych trójkąta ABC pozwala nam oznaczyć AC = 15x i BC = 8x . Na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy

∘ ------------ ∘ ------------- √ ------ AB = AC 2 + BC 2 = 225x 2 + 64x2 = 2 89x2 = 17x .

Oznaczmy teraz SD = H i zapiszmy podane informacje o objętości ostrosłupa i polu powierzchni ściany ABS .

{ 8 = 1 P ⋅H = 1⋅ 1 ⋅AC ⋅BC ⋅H = 1 ⋅15x ⋅8x ⋅H = 20x 2H 3 ABC 1 3 2 1 6 17 17 = PABS = 2 ⋅AB ⋅H = 2 ⋅17x ⋅H = 2-xH

Z drugiego równania mamy xH = 2 i pierwsze równanie przyjmuje postać

8 1 8 = 20x 2H = 20x ⋅xH = 20x ⋅2 ⇒ x = --- = --. 4 0 5

Stąd

2 H = --= 10. x

Zauważmy teraz, że środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym to dokładnie środek przeciwprostokątnej (przeciwprostokątna jest średnicą tego okręgu). Zatem

1 17 17 DC = DA = DB = 2AB = -2-x = 10-.

Pozostało teraz zastosować twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym SDC .

----------- ------- ∘ ------------ ∘ 28 9 ∘ 10289 √ 1028-9 SC = SD 2 + DC 2 = 100 + ---- = ------= --------. 10 0 100 10

 
Odpowiedź: √ ----- --10289 10

Wersja PDF