Zadanie nr 4565116
Uzasadnij, że suma długości wysokości w dowolnym trójkącie jest mniejsza od jego obwodu.
Rozwiązanie
Oznaczmy boki trójkąta leżące naprzeciwko wierzchołków 
i 
przez 
, a wysokości wychodzące z tych wierzchołków przez 
i 
odpowiednio.
Wysokość 
jest najkrótszym odcinkiem łączącym wierzchołek 
z prostą 
, zatem 
i 
. Dodając te nierówności stronami mamy
Nierówność jest ostra, bo 
nie może być jednocześnie równe 
i 
. Analogicznie uzasadniamy nierówności
Dodając te trzy nierówności stronami, mamy
