Zadanie nr 1020205

W ostrosłupie ABCS podstawa ABC jest trójkątem prostokątnym, |∡ACB | = 90∘ . Sinus jednego z kątów ostrych podstawy jest równy 0,6 . Promień okręgu opisanego na podstawie ma długość 10 cm. Wysokość ostrosłupa ma długość 24 cm. Oblicz:

objętość ostrosłupa;
tangens kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa, zawierającej przeciwprostokątną podstawy, do płaszczyzny podstawy.

Rozwiązanie

Zaczynamy naturalnie od rysunku.

Ponieważ promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym, to połowa przeciwprostokątnej, to . Powiedzmy, że . Mamy wtedy
$∘ --------- co sBAC = 1 − 0,6 2 = 0,8 BC ----= sin ∡BAC = 0,6 ⇒ BC = 12 AB AC--= cos ∡BAC = 0 ,8 ⇒ AC = 1 6. AB$

Zatem objętość ostrosłupa jest równa

$1 1 1 --⋅--AC ⋅BC ⋅ CS = --⋅16 ⋅12⋅ 24 = 768 . 3 2 6$

Odpowiedź:
Wiemy, że jest wysokością ostrosłupa, zatem płaszczyzna przechodząca przez tę krawędź oraz przez wysokość trójkąta jest prostopadła do krawędzi . Zatem kąt nachylenia ściany do płaszczyzny podstawy to kąt . Aby obliczyć jego tangens, wyliczmy wysokość trójkąta . Ze wzoru na pole trójkąta mamy
$1 1 16 ⋅12 48 -AC ⋅BC = PABC = -AB ⋅CE ⇒ CE = -------= --. 2 2 20 5$

Zatem szukany tangens jest równy

$SC-- 24- 5- tg α = CE = 48 = 2 . 5$

Odpowiedź: