Zadanie nr 1656378

Odległość środka wysokości ostrosłupa prawidłowego trójkątnego od ściany bocznej jest równa . Krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku

Plan jest następujący: ponieważ EB = 2F E ze znanego tg ∡F BD = tg α łatwo obliczyć tg∡EF D = tg∡KGD . To pozwoli nam wyliczyć w zależności od . Mając wysokość ostrosłupa wyliczymy długość krawędzi podstawy i wysokość ściany bocznej.

Zatem do dzieła. Z podobieństwa trójkątów GKD i F ED mamy

DE DE tg ∡KGD = tg∡EF D = ----= 1----= 2tg α. F E 2 EB

Jeżeli oznaczymy DE = H , to z trójkąta KGD mamy

∘ -------- KD √GD---2 −-KG-2 H-2− d2 tg ∡KGD = ----= -------------- = ---4------ ∘ -KG------- d d 4d tg α = H 2 − 4d2 H 2 − 4d2 = 16d 2tg2α ∘ ----------- H 2 = 4d2(4 tg2α + 1) ⇒ H = 2d 4 tg2α + 1.

Teraz już łatwo. Ponieważ środek trójkąta równobocznego dzieli jego wysokość w stosunku 2:1, więc ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym.

√ -- √ -- EB = 2-⋅ a-3-= a--3-. 3 2 3

Patrzymy teraz na trójkąt EBD .

EB- = ctg α H√ -- a 3 -----= H ctgα 3 √ -- √ -- ∘ ----------- a = 3H ctg α = 2 3d ctg α 4 tg 2α + 1 a2 = 12d2 ctg 2α(4 tg 2α + 1) = 1 2d2(4+ ctg2α) 2√ -- P = a---3-= 3√ 3d2(4 + ctg2α ). ABC 4

Teraz już możemy policzyć objętość:

√ -- ∘ ----------- V = 1PABCH = 1⋅3 3d2(4 + ctg2α )⋅2d 4tg2 α+ 1 = 3 3 ∘ ----------- √ --3 2 2 = 2 3d (4 + ctg α ) 4 tg α + 1.

Do wyliczenia pola powierzchni potrzebujemy jeszcze znać wysokość ściany bocznej. Spróbujemy wyznaczyć tę wysokość w zależności – licząc pole i tak będziemy mnożyć przez , a mamy już ładnie wyliczone. Jak już wcześniej wyliczyliśmy