/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup

Zadanie nr 3118580

Podstawą ostrosłupa prawidłowego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 8. Na krawędziach bocznych AS i BS wybrano punkty, odpowiednio D i E , takie że |AD | = |BE | oraz |DE | = 6 (zobacz rysunek). Płaszczyzna CDE jest prostopadła do płaszczyzny ściany bocznej ABS ostrosłupa.

PIC

Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jedną z największych trudności tego zadania, to znalezienie sposobu na opisanie prostopadłości płaszczyzn CDE i ABS . Aby to zrobić dorysujmy wysokości trójkątów CDE i ABS .

PIC

Prostopadłość płaszczyzn CDE i ABS gwarantuje nam teraz prostopadłość wysokości CL i SK . W szczególności trójkąty CKL i CSL są prostokątne. Jeżeli oznaczymy CL = H (jest to wysokość czworościanu opuszczona na ścianę ABS ) i SL = h , to

SK AK 4 4 4 --- = ----= -- ⇒ SK = -SL = --h SL DL 3 3 3 LK = SK − SL = 4-h − h = 1-h. 3 3

To pozwala nam obliczyć H w zależności od h .

( √ -) 2 ( ) 2 2 2 2 8--3- h- 2 h2- H = CL = CK − LK = 2 − 3 = 48 − 9 .

Potrzebujemy jeszcze jednego równania wiążącego te dwie literki – patrzymy na trójkąty prostokątne CLS i SAK .

H 2 + h2 = CL 2 + LS 2 = CS 2 = AS 2 = AK 2 + SK2 = 16+ 16h 2 9 2 7-2 H = 1 6+ 9h .

Porównujemy teraz dwa otrzymane wzory na 2 H .

2 48 − h--= 16 + 7-h2 9 9 8- 2 2 9- 32 = 9 h ⇒ h = 3 2⋅ 8 = 36 ⇒ h = 6.

Stąd

∘ -------- h 2 √ ------- √ --- √ --- H = 48 − ---= 48 − 4 = 4 4 = 2 11 9

i objętość ostrosłupa jest równa

1- 1- 1- 1- 4- √ --- V = 3PABS ⋅CL = 3 ⋅2 ⋅AB ⋅SK ⋅H = 6 ⋅8 ⋅3h ⋅2 1 1 = √ --- √ --- √ --- = 32-⋅h 11 = 32-⋅6 11 = 64--11-. 9 9 3

 
Odpowiedź: 64√-11- 3

Wersja PDF