Zadanie nr 4748686
Ostrosłup prawidłowy trójkątny przecięto płaszczyzną, która przechodzi przez krawędź podstawy długości oraz jest prostopadła do przeciwległej krawędzi bocznej. Płaszczyzna ta jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem
. Oblicz objętość ostrosłupa.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od rysunku.
Ponieważ znamy długość krawędzi podstawy, do wyliczenia objętości brakuje nam wysokości . Oznaczmy wysokość podstawy przez
.
Sposób I
Wiemy, że płaszczyzna jest prostopadła do krawędzi
, więc trójkąt
jest prostokątny. W szczególności
. W trójkącie
mamy
![DE ---- = tg(90∘ − α) BE √ -- 2- a---3 H = 3 hctg α = 3 ⋅ ctg α.](https://img.zadania.info/zad/4748686/HzadR8x.gif)
Pozostało obliczyć objętość
![√ -- √ -- 1- a2--3- a--3- a3- V = 3 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ctgα = 12 ctgα.](https://img.zadania.info/zad/4748686/HzadR9x.gif)
Sposób II
Tym razem wysokość obliczymy licząc na dwa sposoby pole trójkąta
. Mamy
![F-G- F B = cosα ⇒ FG = h cosα ∘ ------(----)2 ∘ ---------- ∘ ---2------2- 2 2- 2 4-2 BD = DE + EB = H + 3 h = H + 9h .](https://img.zadania.info/zad/4748686/HzadR12x.gif)
Liczymy teraz pole trójkąta na dwa sposoby.
![1 1 2F B ⋅DE = 2BD ⋅F G /⋅ 2 ∘ ---------- h⋅ H = H 2 + 4h 2 ⋅h cosα / : h 9 ∘ ---------- H = H 2 + 4-h2 ⋅co sα /()2 ( 9 ) 2 2 4 2 2 H = H + 9h ⋅ cos α H 2(1− cos2α ) = 4h2 cos2α ⇒ H = 2-h⋅ cosα-= --2h--. 9 3 sin α 3 tg α](https://img.zadania.info/zad/4748686/HzadR14x.gif)
Podstawmy w tej równości .
![a√3 √ -- --2h-- 2-⋅-2-- -a--3- H = 3 tg α = 3tg α = 3 tg α .](https://img.zadania.info/zad/4748686/HzadR16x.gif)
Pozostało obliczyć objętość.
![2√ -- √ -- 3 V = 1-⋅ a---3⋅ a--3--= --a---. 3 4 3tg α 12tg α](https://img.zadania.info/zad/4748686/HzadR17x.gif)
Odpowiedź: