Zadanie nr 9114073

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest trapez równoramienny ABCD , którego ramiona mają długość √ -- |AD | = |BC | = 16 2 i tworzą z podstawą kąt ostry o mierze 45 ∘ . Każda ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem takim, że tgα = 15 8 . Oblicz odległość spodka wysokości tego ostrosłupa od jego ściany bocznej SAD .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od naszkicowania opisanej sytuacji.

Aby zaznaczyć kąty nachylenia ścian bocznych do płaszczyzny podstawy zaznaczyliśmy na rysunku rzuty K ,L,M ,N spodka wysokości na boki trapezu ABCD . Krawędź jest prostopadła do i do , więc jest prostopadła do płaszczyzny SNF – to oznacza, że kąt SNF jest kątem między ścianą boczną SAD , a płaszczyzną podstawy. Dokładnie tak samo jest w przypadku pozostałych ścian bocznych.

Zauważmy teraz, że trójkąty SKF ,SLF ,SMF ,SNF są prostokątne i mają z założenia takie same kąty ostre. Mają ponadto wspólną przyprostokątną . To oznacza, że są one przystające, czyli w szczególności FK = F L = F M = F N , czyli punkt jest środkiem okręgu wpisanego w podstawę ABCD (bo jego odległość od każdego z boków tego czworokąta jest taka sama).

Długość promienia okręgu wpisanego w podstawę obliczamy z trójkąta AED .

√ -- √ -- DE 2 1 2 √ -- ---- = sin 45∘ = ---- ⇒ r = --⋅ ---⋅ 16 2 = 8. AD 2 2 2

Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny SNF .

SF 15 NF--= tgα = -8- ⇒ SF = 15 ∘ ----------- ∘ --------- √ ---- SN = SF 2 + NF 2 = 152 + 82 = 289 = 17.

Ponieważ płaszczyzna SNF jest prostopadła do płaszczyzny SAD odległość punktu od ściany SAD to długość wysokości trójkąta SNF opuszczonej na przeciwprostokątną . Możemy ją obliczyć z podobieństwa trójkątów NF T i NSF lub porównując dwa wzory na pole trójkąta SNF . My zrobimy to tym drugim sposobem.