/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup

Zadanie nr 9250284

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym długość krawędzi podstawy jest równa a i jest 4 razy większa niż odległość środka podstawy od ściany bocznej. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Ponieważ środek trójkąta równobocznego dzieli jego wysokość w stosunku 2:1, ze wzoru √ - a-3- 2 na wysokość trójkąta równobocznego mamy

1 a√ 3- a√ 3- EF = --⋅-----= -----. 3 2 6

Wiemy ponadto, że 1 GE = 4a , więc możemy obliczyć długość odcinka GF . Patrzymy na trójkąt prostokątny FEG .

----------- ∘ --------- ∘ ------ √ -- ∘ 2 2 a2- a2- 4-−-3- √-a-- -a√--- a--3- GF = FE − GE = 12 − 16 = a 48 = 48 = 4 3 = 12 .

No i doszliśmy do najciekawszego momentu: zauważmy teraz, że trójkąty prostokątne EGF i DEF są podobne (bo mają wspólny kąt przy wierzchołku F ). Z tego podobieństwa mamy

DE-- GE-- EF = GF a a√ 3- a DE = -4√--⋅-----= --. a-3- 6 2 12

Objętość ostrosłupa jest więc równa

2√ -- 3√ -- V = 1-⋅ a--3-⋅ a-= a---3-. 3 4 2 24

 
Odpowiedź: 3√- a243

Wersja PDF