/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup

Zadanie nr 9477617

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat ABCD o boku długości 40. Pola ścian bocznych ABS , BCS , CDS i ADS są odpowiednio równe: 740, √ -- 24 0 5 , 260 i 400. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Szkicujemy ostrosłup – na rysunku zaznaczyliśmy wysokości ścian bocznych: SK ,SL ,SM ,SN oraz wysokość ostrosłupa SP .

PIC

Podane pola ścian bocznych pozwalają nam obliczyć długości wysokości ścian bocznych.

740 =P = 1-⋅40 ⋅SK ⇒ SK = 37 ABS 2 1 260 =PCDS = --⋅40 ⋅SM ⇒ SM = 13 2

Jeżeli P jest spodkiem wysokości ostrosłupa i oznaczymy PK = x to P M = 40 − x . Wartość x możemy wyznaczyć pisząc twierdzenia Pitagorasa w trójkątach SKP i SMP .

SK2 − P K2 = SP 2 = SM 2 − PM 2 2 2 2 2 37 − x = 13 − (40 − x) 1369 − x2 = 16 9− 1 600 + 80x − x2 2800 = 80x ⇒ x = 3 5.

Raz jeszcze stosujemy twierdzenie Pitagorasa, aby obliczyć wysokość ostrosłupa.

∘ ----------- ∘ ---------- √ ---- H = SP = SK 2 − P K2 = 372 − 352 = 1 44 = 12.

Objętość ostrosłupa jest więc równa

1 V = --⋅40 2 ⋅12 = 6400. 3

Zauważmy, że informacja o polach ścian BCS i SDS okazała się zbędna.  
Odpowiedź: 6400

Wersja PDF