/Konkursy/Zadania/Zadania z treścią/Ciągi

Zadanie nr 8006492

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W karczmie jest 30 litrowa beczka wina napełniona do pełna. Winiarz zaczerpnął 1 litr wina i dolał do beczki 1 litr wody. Postąpił tak 10 razy. Ile czystego wina zostało w beczce.

Rozwiązanie

Oczywiście zakładamy, że po każdym dolaniu wody, winiarz miesza dokładnie zawartość beczki – inaczej zadanie jest bez sensu.

Zastanówmy się ile litrów czystego wina zostaje w beczce po każdym kolejnym kroku.
Za pierwszym razem został zaczerpnięty 1 litr, czyli zostaje ( 1 ) 29 3 0 1− 30 = 30 ⋅30 litrów wina.
Za drugim razem z pozostałej ilości wina znowu zabieramy 1- 30 , czyli pozostaje

( ) ( )2 30⋅ 29-⋅ 1− 1-- = 30 ⋅ 29- 30 30 30

czystego wina.
Za trzecim razem z pozostałej ilości wina znowu zabieramy 1- 30 , czyli pozostaje

( 29 ) 2 ( 1 ) ( 29 ) 3 3 0⋅ --- ⋅ 1− --- = 3 0⋅ --- 30 30 30

czystego wina.
…
…
Za dziesiątym razem z pozostałej ilości wina znowu zabieramy -1 30 , czyli pozostaje

( ) 9 ( ) ( ) 10 30⋅ 29- ⋅ 1 − -1- = 30⋅ 29- ≈ 21,37 30 30 30

litrów czystego wina.

Uważny czytelnik powinien zauważyć, że to co zrobiliśmy to wyprowadziliśmy wzór na procent składany. Aby lepiej zrozumieć tę analogię, dobrze jest przeforumuować treść zadania: startujemy od 30 litrowej beczki z winem i w każdym kolejnym kroku zabieramy 1- 30 zawartości beczki. Występujące w oryginalnym sformułowaniu dolewanie wody tylko komplikuje sprawę.  
Odpowiedź: ( ) 30 ⋅ 29 10 30 litrów

Wersja PDF