Zadanie nr 1984880
Wielomiany oraz
są wielomianami o współczynnikach całkowitych, przy czym
. Wyznacz wszystkie możliwe wartości
i
.
Rozwiązanie
Z równości
![4 3 2 2 W (x ) = x + px + 23x + qx + 1 = [P(x)]](https://img.zadania.info/zad/1984880/HzadR0x.gif)
wynika, że musi być wielomianem stopnia 2, czyli musi mieć postać

Żeby trochę zmniejszyć liczbę możliwości, zauważmy jeszcze, że możemy założyć, że . Tak jest, bo jeżeli
to też
. Mamy zatem
![2 2 2 2 4 2 2 2 3 2 [P (x)] = (ax + bx + c) = a x + b x + c + 2abx + 2acx + 2bcx = = a2x4 + 2abx3 + (b2 + 2ac)x2 + 2bcx + c2.](https://img.zadania.info/zad/1984880/HzadR6x.gif)
Stąd

Jeżeli popatrzymy na współczynnik przy i na wyraz wolny to widzimy, że
i
. Dzięki naszemu założeniu
, mamy zatem
i

Jeżeli , to mamy równość

Porównując współczynniki przy mamy
. Daje to nam dwa możliwe rozwiązania:
lub
.
Jeżeli natomiast , to mamy równość

Taka sytuacja jest jednak niemożliwa, bo po porównaniu współczynników przy otrzymujemy
.
Odpowiedź: lub