/Szkoła średnia/Funkcje/Wielomiany/Stopnia 4/Z parametrem

Zadanie nr 1984880

Wielomiany 4 3 2 W (x ) = x + px + 23x + qx + 1 oraz P (x) są wielomianami o współczynnikach całkowitych, przy czym W (x ) = [P (x)]2 . Wyznacz wszystkie możliwe wartości p i q .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Z równości

4 3 2 2 W (x ) = x + px + 23x + qx + 1 = [P(x)]

wynika, że P(x) musi być wielomianem stopnia 2, czyli musi mieć postać

P(x) = ax 2 + bx+ c.

Żeby trochę zmniejszyć liczbę możliwości, zauważmy jeszcze, że możemy założyć, że a > 0 . Tak jest, bo jeżeli W (x ) = [P(x)]2 to też W (x) = [−P (x)]2 . Mamy zatem

2 2 2 2 4 2 2 2 3 2 [P (x)] = (ax + bx + c) = a x + b x + c + 2abx + 2acx + 2bcx = = a2x4 + 2abx3 + (b2 + 2ac)x2 + 2bcx + c2.

Stąd

4 3 2 2 4 3 2 2 2 x + px + 23x + qx + 1 = a x + 2abx + (b + 2ac)x + 2bcx + c .

Jeżeli popatrzymy na współczynnik przy x4 i na wyraz wolny to widzimy, że a = ±1 i c = ± 1 . Dzięki naszemu założeniu a > 0 , mamy zatem a = 1 i

x4 + px3 + 23x 2 + qx+ 1 = x4 + 2bx 3 + (b2 + 2c)x 2 + 2bcx + c2.

Jeżeli c = − 1 , to mamy równość

x 4 + px 3 + 23x2 + qx + 1 = x 4 + 2bx 3 + (b2 − 2)x2 − 2bx + 1.

Porównując współczynniki przy 2 x mamy b = ± 5 . Daje to nam dwa możliwe rozwiązania: (p,q) = (− 10,1 0) lub (p ,q) = (10,− 10) .

Jeżeli natomiast c = 1 , to mamy równość

x 4 + px 3 + 23x2 + qx + 1 = x 4 + 2bx 3 + (b2 + 2)x2 + 2bx + 1.

Taka sytuacja jest jednak niemożliwa, bo po porównaniu współczynników przy 2 x otrzymujemy 2 b = 21 .  
Odpowiedź: (p ,q ) = (− 10,10) lub (p ,q) = (10,− 10)

Wersja PDF