Zadanie nr 3139795
Wielomiany oraz
są wielomianami o współczynnikach całkowitych, przy czym
. Wyznacz wszystkie możliwe wartości
i
.
Rozwiązanie
Z równości
![4 3 2 2 W (x ) = x + ax + 12x + bx + 4 = [P (x)]](https://img.zadania.info/zad/3139795/HzadR0x.gif)
wynika, że musi być wielomianem stopnia 2, czyli musi mieć postać

Wtedy
![[P(x)]2 = (px 2 + qx+ r)2 = p2x4 + q2x2 + r2 + 2pqx 3 + 2prx 2 + 2qrx = 2 4 3 2 2 2 = p x + 2pqx + (q + 2pr)x + 2qrx + r .](https://img.zadania.info/zad/3139795/HzadR3x.gif)
Mamy zatem równość

Jeżeli popatrzymy na współczynnik przy i na wyraz wolny to widzimy, że
i
. Żeby się nie pomylić rozważmy każdą z możliwych czterech sytuacji osobno.
Jeżeli to mamy równość

Tak sytuacja jest jednak niemożliwa, bo po porównaniu współczynników przy otrzymujemy
.
Jeżeli to mamy równość

Teraz porównanie współczynników przy daje
. Daje to nam dwa możliwe rozwiązania:
lub
.
Jeżeli to mamy równość

Porównanie współczynników przy daje
. Daje to dokładnie te same rozwiązania co poprzednio:
lub
.
Jeżeli wreszcie to mamy równość

Tak sytuacja jest jednak niemożliwa, bo po porównaniu współczynników przy otrzymujemy
.
Uwaga. Mogliśmy od razu zauważyć, że jeżeli to też
, więc mogliśmy zajmować się tylko przypadkiem
.
Odpowiedź: lub