/Studia/Analiza/Funkcje/Badanie funkcji/Pochodne/Styczne do wykresu

Zadanie nr 1283405

Funkcja f jest określona wzorem -3x2−2x- f (x) = x2+2x+ 8 dla każdej liczby rzeczywistej x . Punkt P = (x0,3) należy do wykresu funkcji f . Oblicz x0 oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych R – bo trójmian w mianowniku ułamka jest zawsze dodatni. Wyznaczmy teraz pierwszą współrzędną punktu P . W tym celu rozwiązujemy równanie

3x2 − 2x 3 = x-2 +-2x-+-8 2 2 3x + 6x + 24 = 3x − 2x 8x = − 24 ⇐ ⇒ x = − 3.

Mamy zatem P = (− 3,3 ) i współczynnik kierunkowy interesującej nas stycznej to wartość pochodnej w punkcie x = − 3 . Liczymy pochodną funkcji f .

2 ′ 2 2 2 ′ f′(x) = (3x--−--2x)-⋅(x--+-2x-+-8)-−-(3x--−-2x-)⋅(x--+-2x-+--8) = (x2 + 2x + 8)2 2 2 = (6x-−--2)(x-+--2x-+-8)−--(3x--−-2x)(2x-+--2). (x2 + 2x + 8)2

Ponieważ interesuje nas tylko wartość pochodnej w jednym punkcie, nie musimy upraszczać tego wyrażenia – wystarczy obliczyć ′ f (− 3) . Liczymy

f′(− 3) = −-20-⋅(9−--6+--8)−--33⋅-(−4-)= −-20-+-12-= − -8-. (9 − 6 + 8)2 11 11

Interesująca nas styczna ma więc równanie

8 y = f′(x − x0) + y0 = − --(x + 3) + 3 11 y = − -8-x+ 3− 24-= − 8-x + 9-. 11 11 11 11

Na koniec wykres dla ciekawskich.

PIC

 
Odpowiedź: − 181x + 191

Wersja PDF