Zadanie nr 1859520
Wyznacz wszystkie styczne do wykresu funkcji , które razem z osiami układu współrzędnych ograniczają trójkąt równoramienny.
Rozwiązanie
Zauważmy, że styczna i osie układu współrzędnych zawsze ograniczają trójkąt prostokątny. Jeżeli więc ten trójkąt ma być równoramienny, to jest to połówka kwadratu z kątem ostrym równym . Nadal możliwe są dwie różne sytuacje – w zależności od tego, czy styczna ma dodatni czy ujemny współczynnik kierunkowy.
W pierwszym przypadku kąt nachylenia do osi musi być równy
, a w drugim
. Tangensy tych kątów to odpowiednio 1 i
. Będziemy korzystać z tego, że współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji
w punkcie
jest równy pochodnej
w tym punkcie. Liczymy pochodną
![( ) ′ ′ ′ f′(x) = 8x-+--1 = (8x-+-1)-⋅(x-−-3-)−-(8x-+-1-)⋅(x-−-3)--= x − 3 (x − 3)2 = 8(x-−-3)−--(8x-+-1)-= --−-25--. (x − 3 )2 (x− 3)2](https://img.zadania.info/zad/1859520/HzadR9x.png)
Widać, ze pochodna jest stale ujemna, więc nigdy nie jest równa 1. Sprawdźmy kiedy jest równa .
![− 25 -------2-= −1 (x − 3) 25 = (x− 3)2 − 5 = x− 3 lub 5 = x − 3 − 2 = x lub 8 = x.](https://img.zadania.info/zad/1859520/HzadR11x.png)
Obliczmy jeszcze wartość funkcji w tych dwóch punktach.
![−-1-6+-1- f(− 2) = − 2 − 3 = 3 f(8) = 6-4+--1 = 13. 8 − 3](https://img.zadania.info/zad/1859520/HzadR13x.png)
Są więc dwie styczne spełniające warunki zadania
![y = − 1⋅(x + 2 )+ 3 = −x + 1 y = − 1⋅(x − 8 )+ 13 = −x + 21.](https://img.zadania.info/zad/1859520/HzadR14x.png)
Na koniec obrazek dla ciekawskich.
Odpowiedź: i