Zadanie nr 3117266
Funkcja jest określona wzorem
dla każdego
, i ustalonej liczby rzeczywistej
. Prosta
jest styczna do wykresu funkcji
. Oblicz
.
Rozwiązanie
Jeżeli dana prosta jest styczna do wykresu funkcji w punkcie
, to muszą być spełnione dwa warunki
![{ f(x0) = 17x 0 − 1 6 ′ f(x 0) = 17.](https://img.zadania.info/zad/3117266/HzadR2x.png)
Zacznijmy może od drugiego warunku, bo powinien być prostszy do rozszyfrowania. Liczymy pochodną funkcji
![f′(x) = 6x2 + 2ax + 9.](https://img.zadania.info/zad/3117266/HzadR4x.png)
Mamy zatem
![17 = 6x20 + 2ax0 + 9 2 2ax0 = 8− 6x 0.](https://img.zadania.info/zad/3117266/HzadR5x.png)
Zauważmy, że , bo inaczej powyższa równość jest sprzeczna. Możemy więc z tej równości obliczyć
.
![8-−-6x-20 -4- a = 2x = x − 3x 0. 0 0](https://img.zadania.info/zad/3117266/HzadR8x.png)
Zajmijmy się teraz warunkiem .
![1 7x − 16 = 2x 3+ ax 2+ 9x 0 0 ( 0 0 ) 3 -4- 2 0 = 2x 0 + x 0 − 3x 0 x0 − 8x0 + 16 3 3 0 = 2x 0 + 4x 0 − 3x 0 − 8x0 + 16 x3+ 4x − 16 = 0 0 0](https://img.zadania.info/zad/3117266/HzadR10x.png)
Liczba jest więc rozwiązaniem równania
![x 3 + 4x − 1 6 = 0.](https://img.zadania.info/zad/3117266/HzadR12x.png)
Łatwo sprawdzić (sprawdzając dzielniki wyrazu wolnego), że jednym z rozwiązań tego równania jest . Dzielimy więc lewą stronę przez
.
![x3 + 4x − 16 = (x3 − 2x2)+ (2x2 − 4x) + (8x − 16) = = (x− 2)(x2 + 2x + 8).](https://img.zadania.info/zad/3117266/HzadR15x.png)
Trójmian kwadratowy w drugim nawiasie nie ma pierwiastków (bo ), więc
. Stąd
![4 a = ---− 3x0 = 2 − 6 = − 4. x 0](https://img.zadania.info/zad/3117266/HzadR18x.png)
Odpowiedź: