/Studia/Analiza/Funkcje/Badanie funkcji/Pochodne/Styczne do wykresu

Zadanie nr 3117266

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Funkcja f jest określona wzorem 3 2 f(x ) = 2x + ax + 9x dla każdego x ∈ R , i ustalonej liczby rzeczywistej a . Prosta y = 1 7x− 16 jest styczna do wykresu funkcji f . Oblicz a .

Rozwiązanie

Jeżeli dana prosta jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x0,f(x 0)) , to muszą być spełnione dwa warunki

{ f(x0) = 17x 0 − 1 6 ′ f(x 0) = 17.

Zacznijmy może od drugiego warunku, bo powinien być prostszy do rozszyfrowania. Liczymy pochodną funkcji f

f′(x) = 6x2 + 2ax + 9.

Mamy zatem

17 = 6x20 + 2ax0 + 9 2 2ax0 = 8− 6x 0.

Zauważmy, że x0 ⁄= 0 , bo inaczej powyższa równość jest sprzeczna. Możemy więc z tej równości obliczyć a .

8-−-6x-20 -4- a = 2x = x − 3x 0. 0 0

Zajmijmy się teraz warunkiem f(x ) = 17x − 16 0 0 .

1 7x − 16 = 2x 3+ ax 2+ 9x 0 0 ( 0 0 ) 3 -4- 2 0 = 2x 0 + x 0 − 3x 0 x0 − 8x0 + 16 3 3 0 = 2x 0 + 4x 0 − 3x 0 − 8x0 + 16 x3+ 4x − 16 = 0 0 0

Liczba x0 jest więc rozwiązaniem równania

x 3 + 4x − 1 6 = 0.

Łatwo sprawdzić (sprawdzając dzielniki wyrazu wolnego), że jednym z rozwiązań tego równania jest x = 2 . Dzielimy więc lewą stronę przez (x − 2) .

x3 + 4x − 16 = (x3 − 2x2)+ (2x2 − 4x) + (8x − 16) = = (x− 2)(x2 + 2x + 8).

Trójmian kwadratowy w drugim nawiasie nie ma pierwiastków (bo Δ < 0 ), więc x = 2 0 . Stąd

4 a = ---− 3x0 = 2 − 6 = − 4. x 0

 
Odpowiedź: a = − 4

Wersja PDF