/Studia/Analiza/Funkcje/Badanie funkcji/Pochodne/Styczne do wykresu

Zadanie nr 3525569

Oblicz pole trójkąta ograniczonego osią Ox oraz stycznymi do wykresu funkcji f (x) = x3 + 3x2 − 5x − 9 poprowadzonymi w punktach x = − 3 i x = − 2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Korzystamy z równania stycznej do wykresu funkcji y = f(x ) w punkcie x 0

y = f′(x0)(x− x0)+ f(x0).

Liczymy

′ 2 f (x) = 3x + 6x − 5 f′(− 3) = 27 − 1 8− 5 = 4, f′(−2 ) = 12 − 12 − 5 = − 5 f(− 3) = − 27 + 27 + 1 5− 9 = 6, f (−2 ) = − 8+ 12+ 10− 9 = 5.

Interesujące nas styczne mają więc równania

y = 4 (x+ 3)+ 6 , y = − 5(x + 2)+ 5 y = 4x + 18, y = − 5x − 5.

Możemy teraz naszkicować całą sytuację.

PIC

Wyznaczmy teraz punkty przecięcia A i B stycznych z osią Ox .

4x + 18 = 0 ⇒ 4x = − 18 ⇒ x = − 18-= − 9- 4 2 − 5x − 5 = 0 ⇒ 5x = − 5 ⇒ x = − 1.

Podstawa AB trójkąta ABC ma więc długość

( ) 9- 7- AB = − 1 − − 2 = 2 .

Wyznaczamy teraz punkt wspólny C stycznych.

4x + 18 = y = − 5x − 5 9x = − 2 3 ⇒ x = − 2-3 9 115- 70- y = − 5x − 5 = 9 − 5 = 9 .

Zatem ( ) C = − 23, 70 9 9 i wysokość trójkąta ABC jest równa

h = 70. 9

Pole trójkąta ABC jest więc równe

1- 1- 7- 70- 245- 2 AB ⋅ h = 2 ⋅2 ⋅ 9 = 18 .

 
Odpowiedź: 245 18

Wersja PDF