Zadanie nr 3532567

Napisz równanie stycznych do wykresu funkcji x−1- f(x) = x+1 i równoległych do prostej o równaniu y = 2x + 1 .

Rozwiązanie

Sposób I

Musimy znaleźć punkty na hiperboli, w których styczna ma wpółczynnik kierunkowy 2. Idealnym do tego narzędziem jest pochodna. Pochodna w punkcie to dokładnie wpółczynnik kierunkowy stycznej w tym punkcie. Liczymy pochodną

′ (x-+-1-)−-(x-−-1-) ----2---- f (x) = (x + 1)2 = (x + 1)2 .

Sprawdzamy kiedy pochodna równa się 2.

2 (x-+-1)2-= 2 (x+ 1)2 = 1 x = 0 ∨ x = − 2.

Ponieważ f (0) = − 1 i f(− 2) = 3 , to szukane styczne to proste postaci y = 2x+ b przechodzące przez te punkty. Bez trudu wyliczamy, że b = − 1 lub b = 7 .

Sposób II

Ponieważ

f(x) = x+--1−--2-= 1 + -−-2--, x+ 1 x + 1

to wykres funkcji jest hiperbolą y = −x2- przesuniętą o wektor [− 1,1 ] . W szczególności prosta postaci y = 2x + b jest styczna do hiperboli tylko wtedy gdy ma z nią dokładnie jeden punkt wspólny (bo nie jest równoległa do asymptot! - to jest ważne). Liczymy