/Studia/Analiza/Funkcje/Badanie funkcji/Pochodne/Styczne do wykresu

Zadanie nr 7213419

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Funkcja f jest określona wzorem 3 2 f (x) = 6x − 9x + 16x dla każdego x ∈ R . Punkt P = (x0,24) należy do wykresu funkcji f . Oblicz x0 oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P .

Rozwiązanie

Wyznaczmy najpierw x0 . Rozwiązujemy równanie

3 2 6x − 9x + 16x = 2 4 6x 3 − 9x 2 + 16x − 24 = 0 3x 2(2x− 3)+ 8(2x − 3) = 0 2 (3x + 8)(2x − 3) = 0 .

Jedynym rozwiązaniem tego równania jest 3 x = 2 , czyli 3 x0 = 2 . Liczymy teraz pochodną funkcji f .

f ′(x ) = 18x2 − 18x + 1 6 ( ) f ′ 3- = 18 ⋅ 9-− 18 ⋅ 3-+ 1 6 = 81-− 2 7+ 1 6 = 59 2 4 2 2 2

Korzystamy teraz ze wzoru

y = f′(x0)(x − x0) + f(x0)

na równanie stycznej do wykresu y = f (x) . Wiemy już, że

( 3 ) f -- = 24, 2

więc równanie stycznej ma postać:

( ) y = 59- x− 3- + 24 = 59x − 8-1. 2 2 2 4

 
Odpowiedź: 3 x0 = 2 , 59 81 y = 2 x − 4

Wersja PDF