Zadanie nr 2226850
W ostrosłup prawidłowy czworokątny wpisano kulę o promieniu 2. Ściana boczna ostrosłupa nachylona jest do płaszczyzny podstawy pod kątem . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Rozwiązanie
Zaczynamy od rysunku.
Podana informacja o promieniu kuli wpisanej w ostrosłup oznacza w szczególności, że promień okręgu wpisanego w trójkąt jest równy 2. To zaś pozwala łatwo obliczyć długość krawędzi podstawy.
Sposób I
Trójkąt jest równoboczny, więc jeżeli oznaczamy przez
długość jego boku, to
![√ -- √ -- 1 a 3 a 3 6 2 = 3-⋅--2-- = --6-- / ⋅√--- √ --3 -6-- 12-- 12--3- √ -- a = 2 ⋅√ --= √ --= 3 = 4 3. 3 3](https://img.zadania.info/zad/2226850/HzadR4x.gif)
Wysokość ostrosłupa, czyli wysokość trójkąta jest 3 razy dłuższa od promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt, czyli
![SF = 3⋅2 = 6.](https://img.zadania.info/zad/2226850/HzadR6x.gif)
Możemy teraz obliczyć objętość ostrosłupa.
![1 2 1 √ --2 V = --a ⋅ SF = -⋅ (4 3) ⋅6 = 96. 3 3](https://img.zadania.info/zad/2226850/HzadR7x.gif)
Sposób II
Patrzymy na trójkąt .
![√ -- -2- ∘ --3- F E = tg 30 = 3 2 6 √ -- F E = -√- = √---= 2 3 33- 3 √ -- AB = 2FE = 4 3.](https://img.zadania.info/zad/2226850/HzadR9x.gif)
Z trójkąta obliczamy długość wysokości
ostrosłupa.
![√ -- √ -- SF- = tg 60∘ = 3 ⇒ SF = 3FE = 6. F E](https://img.zadania.info/zad/2226850/HzadR12x.gif)
Możemy teraz obliczyć objętość ostrosłupa.
![1 1 √ -- V = --AB 2 ⋅ SF = --⋅(4 3)2 ⋅ 6 = 96. 3 3](https://img.zadania.info/zad/2226850/HzadR13x.gif)
Odpowiedź: 96