Zadanie nr 2267551
Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jeśli jego krawędź boczna o długości 6 nachylona jest do płaszczyzny podstawy pod kątem .
Rozwiązanie
Zacznijmy od rysunku.
Sposób I
Z trójkąta prostokątnego wyliczamy wysokość
ostrosłupa oraz odcinek
.
![√ -- SE-- ∘ --3- √ -- AS = sin 60 = 2 ⇒ SE = 3 3 AE 1 ----= cos60∘ = -- ⇒ AE = 3. AS 2](https://img.zadania.info/zad/2267551/HzadR4x.gif)
Ponieważ w podstawie jest kwadrat, mamy
![√ -- √ -- AC = 2AE = 6 = a 2 ⇒ a = 3 2.](https://img.zadania.info/zad/2267551/HzadR5x.gif)
Liczymy teraz objętość ostrosłupa.
![1 √ --2 √ -- √ -- V = --⋅(3 2) ⋅3 3 = 18 3. 3](https://img.zadania.info/zad/2267551/HzadR6x.gif)
Sposób II
Tym razem od razu zauważmy, że trójkąt jest równoramienny z kątem przy podstawie
. Jest on więc równoboczny. Zatem
![√ -- √ -- AC = a 2 = AS = 6 ⇒ a = 3 2.](https://img.zadania.info/zad/2267551/HzadR9x.gif)
Wysokość ostrosłupa możemy wyliczyć ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym.
![√ -- -- SE = 6--3-= 3 √ 3. 2](https://img.zadania.info/zad/2267551/HzadR10x.gif)
Objętość liczymy jak poprzednio.
Odpowiedź: