Zadanie nr 3376502
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o podstawie
wysokość jest równa
, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę
. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Rozwiązanie
Aby zaznaczyć kąt między dwoma sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa dorysowujemy dwie wysokości i
sąsiednich ścian bocznych.
Płaszczyzna jest prostopadła do prostej
(bo zawiera dwie nierównoległe proste prostopadłe do
), więc kąt
jest kątem między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa.
Jeżeli oznaczymy długość krawędzi podstawy przez , to mamy
![-- 1 √ -- a√ 2 OB = OC = -a 2 = ----. 2 2](https://img.zadania.info/zad/3376502/HzadR8x.gif)
Sposób I
Z trójkąta prostokątnego obliczamy długość odcinka
.
![√- OB α OB a-2- a√ 2- ----= tg -- ⇒ OE = ---α = -2α-= ----α-. OE 2 tg 2 tg-2 2 tg2](https://img.zadania.info/zad/3376502/HzadR11x.gif)
Korzystamy teraz z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym .
![∘ ------------ ∘ --2------2--- ┌│ ---------- EC = OC 2 − OE 2 = a--− --a----= √a--⋅│ 1 − --1---= 2 2tg2 α2 2 ∘ sin2 α2- cos2 α2 ∘ ---------α- ∘ ---2 α-------α- √ -------- -a-- cos2-2 -a-- sin--2 −-co-s22 a--−--cosα- = √ 2 ⋅ 1− sin2 α = √ 2 ⋅ sin2 α = √ 2 sin α . 2 2 2](https://img.zadania.info/zad/3376502/HzadR13x.gif)
Zauważmy teraz, że trójkąty i
są oba prostokątne i mają wspólny kąt przy wierzchołku
. Są więc podobne i mamy
![OC-- EC-- OS = OE √- a√-−cosα- √ -------- sin α√ -------- √ -------- a-2- √ 2sin α tg α − cos α cos2 α − co sα − cos α -2--= ---√---2-= ---2----α-----= ---2----α-----= ------α--- h 2atg2 α- sin 2 sin 2 cos 2 √ --2√ -------- h--2-⋅--−--cosα- a = co s α . 2](https://img.zadania.info/zad/3376502/HzadR17x.gif)
Pozostało jeszcze obliczyć objętość ostrosłupa
![2 V = 1-⋅Pp ⋅H = 1a2 ⋅h = 1-⋅ −-2h-co-sα-⋅h = − 2h3 ⋅ co-sα-. 3 3 3 cos2 α2 3 cos2 α2](https://img.zadania.info/zad/3376502/HzadR18x.gif)
Sposób II
Stosujemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym .
![∘ --------- √ ---------- ∘ ------------ 2a2 4h2 + 2a2 SC = SO 2 + OC 2 = h 2 + ----= ------------. 4 2](https://img.zadania.info/zad/3376502/HzadR20x.gif)
Obliczamy teraz długość odcinka – można to zrobić porównując dwa wzory na pole trójkąta prostokątnego
(
jest wysokością tego trójkąta), ale my zrobimy to inaczej – korzystamy z podobieństwa trójkątów prostokątnych
i
.
![√ - OE OC a-22 ah -SO- = -SC- ⇒ OE = √-4h2+-2a2-⋅h = √---2----2. ----2--- 2h + a](https://img.zadania.info/zad/3376502/HzadR26x.gif)
Teraz patrzymy na trójkąt prostokątny . Mamy w nim
![OB--= tg α- ⇒ OB = OE ⋅tg α- O√E-- 2 2 a 2 ah α -----= √---2----2-⋅tg -- / ()2 2 2h + a 2 a2 a2h2 2 α 2(2h2 + a2) -2-= 2h2-+-a2-⋅tg 2- / ⋅ ----a2------ α ( α ) 2h 2 + a 2 = 2h2 ⋅ tg 2 ⇒ a2 = 2h2 tg2 --− 1 . 2 2](https://img.zadania.info/zad/3376502/HzadR28x.gif)
Pozostało jeszcze obliczyć objętość ostrosłupa
![1 1 1 ( α ) 2 ( α ) V = --⋅Pp ⋅h = -a2h = -⋅ 2h2 tg 2--− 1 ⋅h = --h3 tg 2--− 1 . 3 3 3 2 3 2](https://img.zadania.info/zad/3376502/HzadR29x.gif)
Odpowiedź: