Zadanie nr 3826883
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o podstawie
i polu powierzchni bocznej równym
. Kąt między wysokościami sąsiednich ścian bocznych poprowadzonych z wierzchołka
ma miarę
. Objętość tego ostrosłupa jest równa
, gdzie
jest stałym współczynnikiem liczbowym. Oblicz współczynnik
.
Rozwiązanie
Szkicujemy oczywiście opisaną sytuację – niech i
będą wysokościami sąsiednich ścian bocznych. Oznaczmy też przez
długość krawędzi postawy i przez
wysokość ściany bocznej.
Sposób I
Podane pole powierzchni bocznej pozwala nam powiązać ze sobą i
.
![P = P = 4⋅ 1a ⋅h ⇒ ah = P-. b 2 2](https://img.zadania.info/zad/3826883/HzadR7x.gif)
Z drugiej strony, w trójkącie prostokątnym mamy
![√- √ -- PF- -a42- a--2- 4h-- √ -- sinα = SF = h = 4h ⇒ a = √ --⋅sinα = 2 2h sin α 2 cosα = SP- = SP- ⇒ SP = hcos α. SF h](https://img.zadania.info/zad/3826883/HzadR9x.gif)
W powyższym rachunku korzystaliśmy z tego, że
![√ -- 1 1 a 2 P F = -EF = --AC = ----. 2 4 4](https://img.zadania.info/zad/3826883/HzadR10x.gif)
Analogicznie
![√ -- √ -- 1- 1- --2- ---2 √ -- RP = 2 RB = 4 DB = 4 a = 4 ⋅ 2 2hsin α = h sin α,](https://img.zadania.info/zad/3826883/HzadR11x.gif)
więc w trójkącie prostokątnym możemy obliczyć wysokość
ostrosłupa.
![∘ ----------- ∘ -------------------- √ ------- SR = SP 2 − PR 2 = h2 cos2α − h 2sin 2α = h cos2 α.](https://img.zadania.info/zad/3826883/HzadR14x.gif)
Objętość ostrosłupa jest więc równa
![∘ -------------- 1 1 √ ------- 1 P√ ------- 1 V = -a 2 ⋅SR = --a2 ⋅ h cos2 α = --a⋅ -- co s2α = ---a2P2co s2α. 3 3 3 2 36](https://img.zadania.info/zad/3826883/HzadR15x.gif)
Wciąż jeszcze pozostało w tym wyrażeniu – musimy je zamienić na wyrażenie zależne od
i
. Wiemy, że
![√ -- a = 2 2h sin α ⇒ h = -√--a----- 2 2 sin α](https://img.zadania.info/zad/3826883/HzadR19x.gif)
oraz
![P a a2 √ -- -- = ah = a⋅ -√--------= -√-------- ⇒ a2 = P 2 sin α. 2 2 2sin α 2 2sin α](https://img.zadania.info/zad/3826883/HzadR20x.gif)
Wracamy teraz do wzoru na objętość
![∘ -------------- ∘ ------------------------- 1 1 √ -- V = --a2P 2cos 2α = ---⋅P 2sinα ⋅P 2cos 2α = ∘ 36-----------------36 √ -- = --2-⋅P3 sin α cos2α . 36](https://img.zadania.info/zad/3826883/HzadR21x.gif)
Zatem .
Sposób II
Jeżeli uwierzymy w informację podaną w treści zadania (a mamy prawo tak zrobić), to współczynnik w podanym wzorze na objętość
![∘ -------------------- k ⋅P 3 ⋅sin αcos(2 α)](https://img.zadania.info/zad/3826883/HzadR24x.gif)
nie zależy ani od ani od wartości
. Możemy więc go obliczyć przyjmując dowolnie te dwie wartości. Wybierzmy np.
i
. Same rachunki wykonujemy w zasadzie podobne jak w poprzednim sposobie, tzn.
![1 2 4 = P = Pb = 4 ⋅-ah ⇒ ah = 2 ⇒ a = --. 2 h](https://img.zadania.info/zad/3826883/HzadR29x.gif)
W trójkącie prostokątnym mamy
![√- a-2- √ -- 2 √ -- √ -- 1- = sin3 0∘ = P-F = -4--= a--2-= h-⋅--2-= --2- 2 √ -- SF √ h- 4h 4h 2h2 h2 = 2 ⇒ h = 4 2.](https://img.zadania.info/zad/3826883/HzadR31x.gif)
Odcinek jest wysokością trójkąta równobocznego
, więc
![√ -- √ -- √ -- SE 3 h 3 3 4√ -- SP = ------ = ----- = ---⋅ 2. 2 2 2](https://img.zadania.info/zad/3826883/HzadR34x.gif)
Tak jak w poprzednim sposobie zauważamy, że
![1 1 1 √4-- RP = -AC = EP = -h = --⋅ 2. 4 2 2](https://img.zadania.info/zad/3826883/HzadR35x.gif)
W trójkącie prostokątnym obliczamy teraz wysokość
ostrosłupa.
![∘ ----- ∘ ----------- ∘ -√-------√--- √ -- √ -- 4√ -- SR = SP2 − P R2 = 3- 2 − 1- 2 = 2--2-= --2-⋅--2. 4 4 4 2](https://img.zadania.info/zad/3826883/HzadR38x.gif)
Objętość ostrosłupa jest więc równa
![√ --√ -- √ --√ -- √ -- 1 2 1 4 2⋅ 42 1 4 2⋅ 42 2 42 V = -a ⋅SR = --⋅--2 ⋅--------= --⋅√---⋅ --------= -----. 3 3 h 2 3 2 2 3](https://img.zadania.info/zad/3826883/HzadR39x.gif)
Z drugiej strony, ze wzoru podanego w treści zdania mamy
![∘ -------------------- ∘ ------------ 3 1- 1- √ ---- V = k⋅ P ⋅ sin α cos(2α) = k⋅6 4⋅ 2 ⋅ 2 = 1 6k.](https://img.zadania.info/zad/3826883/HzadR40x.gif)
Mamy zatem
![√ -- √ ---- 2 42 2 16k = V = ----- /() √ -- 3 √ -- 16k = 4--2- ⇒ k = --2. 9 3 6](https://img.zadania.info/zad/3826883/HzadR41x.gif)
Sposób III
Dokładnie tak samo jak w poprzednim sposobie spróbujemy obliczyć przyjmując
, ale tym razem będziemy trochę ostrożniejsi w wyborze
. A dokładniej, zamiast ustalać
, ustalmy
(trójkąt
jest równoboczny, bo
). Mamy wtedy
![√ -- -- 1 = EF = a--2- ⇒ a = √2--= √ 2 2 2](https://img.zadania.info/zad/3826883/HzadR49x.gif)
i
![1- √ -- P = 4⋅ 2a ⋅h = 2ah = 2 2.](https://img.zadania.info/zad/3826883/HzadR50x.gif)
Tak jak w poprzednich sposobach zauważamy, że
![RP = EP = 1EF = 1-h = 1- √ --2 √ -2 √ 2- EF 3 h 3 3 SP = -------= -----= ----. 2 2 2](https://img.zadania.info/zad/3826883/HzadR51x.gif)
Wysokość ostrosłupa jest więc równa
![∘ ------ ∘ ----------- 3 1 √ 2- SR = SP 2 − RP 2 = --− --= ---. 4 4 2](https://img.zadania.info/zad/3826883/HzadR52x.gif)
Jego objętość jest równa
![√ -- √ -- V = 1-a2 ⋅ SR = 1-⋅2⋅ --2-= --2. 3 3 2 3](https://img.zadania.info/zad/3826883/HzadR53x.gif)
Z drugiej strony, ze wzoru podanego w treści zdania mamy
![∘ ----------------- ∘ -------------------- √ -- 1 1 V = k⋅P 3 ⋅sin αco s(2α) = k⋅(2 2 )3 ⋅-⋅ --= ∘ --------- 2 2 8k ⋅2√ 2 ∘ --√--- = ---------= 4k 2. 4](https://img.zadania.info/zad/3826883/HzadR54x.gif)
Mamy zatem
![∘ --√--- √ -- 4k 2 = V = --2- /()2 3 -- √ -- 2 2 √ 2 4k 2 = -- ⇒ k = --√---= ----. 9 36 2 36](https://img.zadania.info/zad/3826883/HzadR55x.gif)
Odpowiedź: