/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy czworokątny/Objętość

Zadanie nr 3826883

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD i polu powierzchni bocznej równym P . Kąt między wysokościami sąsiednich ścian bocznych poprowadzonych z wierzchołka S ma miarę 2α . Objętość tego ostrosłupa jest równa ∘k -⋅P-3 ⋅-sin-α-cos(2α) , gdzie k jest stałym współczynnikiem liczbowym. Oblicz współczynnik k .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy oczywiście opisaną sytuację – niech SE i SF będą wysokościami sąsiednich ścian bocznych. Oznaczmy też przez a długość krawędzi postawy i przez h wysokość ściany bocznej.


PIC


Sposób I

Podane pole powierzchni bocznej pozwala nam powiązać ze sobą a i h .

P = P = 4⋅ 1a ⋅h ⇒ ah = P-. b 2 2

Z drugiej strony, w trójkącie prostokątnym SP F mamy

 √- √ -- PF- -a42- a--2- 4h-- √ -- sinα = SF = h = 4h ⇒ a = √ --⋅sinα = 2 2h sin α 2 cosα = SP- = SP- ⇒ SP = hcos α. SF h

W powyższym rachunku korzystaliśmy z tego, że

 √ -- 1 1 a 2 P F = -EF = --AC = ----. 2 4 4

Analogicznie

 √ -- √ -- 1- 1- --2- ---2 √ -- RP = 2 RB = 4 DB = 4 a = 4 ⋅ 2 2hsin α = h sin α,

więc w trójkącie prostokątnym SRP możemy obliczyć wysokość SR ostrosłupa.

 ∘ ----------- ∘ -------------------- √ ------- SR = SP 2 − PR 2 = h2 cos2α − h 2sin 2α = h cos2 α.

Objętość ostrosłupa jest więc równa

 ∘ -------------- 1 1 √ ------- 1 P√ ------- 1 V = -a 2 ⋅SR = --a2 ⋅ h cos2 α = --a⋅ -- co s2α = ---a2P2co s2α. 3 3 3 2 36

Wciąż jeszcze pozostało a w tym wyrażeniu – musimy je zamienić na wyrażenie zależne od P i α . Wiemy, że

 √ -- a = 2 2h sin α ⇒ h = -√--a----- 2 2 sin α

oraz

P a a2 √ -- -- = ah = a⋅ -√--------= -√-------- ⇒ a2 = P 2 sin α. 2 2 2sin α 2 2sin α

Wracamy teraz do wzoru na objętość

 ∘ -------------- ∘ ------------------------- 1 1 √ -- V = --a2P 2cos 2α = ---⋅P 2sinα ⋅P 2cos 2α = ∘ 36-----------------36 √ -- = --2-⋅P3 sin α cos2α . 36

Zatem  √ - k = -326 .

Sposób II

Jeżeli uwierzymy w informację podaną w treści zadania (a mamy prawo tak zrobić), to współczynnik k w podanym wzorze na objętość

∘ -------------------- k ⋅P 3 ⋅sin αcos(2 α)

nie zależy ani od α ani wartości P . Możemy więc go obliczyć przyjmując dowolnie te dwie wartości. Wybierzmy np.  ∘ α = 30 i P = 4 . Same rachunki wykonujemy w zasadzie podobne jak w poprzednim sposobie, tzn.

 1 2 4 = P = Pb = 4 ⋅-ah ⇒ ah = 2 ⇒ a = --. 2 h

W trójkącie prostokątnym SPF mamy

 √- a-2- √ -- 2 √ -- √ -- 1- = sin3 0∘ = P-F = -4--= a--2-= h-⋅--2-= --2- 2 √ -- SF √ h- 4h 4h 2h2 h2 = 2 ⇒ h = 4 2.

Odcinek SP jest wysokością trójkąta równobocznego SEF , więc

 √ -- √ -- √ -- SE 3 h 3 3 4√ -- SP = ------ = ----- = ---⋅ 2. 2 2 2

Tak jak w poprzednim sposobie zauważamy, że

 1 1 1 √4-- RP = -AC = EP = -h = --⋅ 2. 4 2 2

W trójkącie prostokątnym SRP obliczamy teraz wysokość SR ostrosłupa.

 ∘ ----- ∘ ----------- ∘ -√-------√--- √ -- √ -- 4√ -- SR = SP2 − P R2 = 3- 2 − 1- 2 = 2--2-= --2-⋅--2. 4 4 4 2

Objętość ostrosłupa jest więc równa

 √ --√ -- √ --√ -- √ -- 1 2 1 4 2⋅ 42 1 4 2⋅ 42 2 42 V = -a ⋅SR = --⋅--2 ⋅--------= --⋅√---⋅ --------= -----. 3 3 h 2 3 2 2 3

Z drugiej strony, ze wzoru podanego w treści zdania mamy

 ∘ -------------------- ∘ ------------ 3 1- 1- √ ---- V = k⋅ P ⋅ sin α cos(2α) = k⋅6 4⋅ 2 ⋅ 2 = 1 6k.

Mamy zatem

 √ -- √ ---- 2 42 2 16k = V = ----- /() √ -- 3 √ -- 16k = 4--2- ⇒ k = --2. 9 3 6

Sposób III

Dokładnie tak samo jak w poprzednim sposobie spróbujemy obliczyć k przyjmując α = 30∘ , ale tym razem będziemy trochę ostrożniejsi w wyborze P . A dokładniej, zamiast ustalać P , ustalmy h = SE = EF = SF = 1 (trójkąt SEF jest równoboczny, bo 2α = 6 0∘ ). Mamy wtedy

 √ -- -- 1 = EF = a--2- ⇒ a = √2--= √ 2 2 2

i

 1- √ -- P = 4⋅ 2a ⋅h = 2ah = 2 2.

Tak jak w poprzednich sposobach zauważamy, że

RP = EP = 1EF = 1-h = 1- √ --2 √ -2 √ 2- EF 3 h 3 3 SP = -------= -----= ----. 2 2 2

Wysokość ostrosłupa jest więc równa

 ∘ ------ ∘ ----------- 3 1 √ 2- SR = SP 2 − RP 2 = --− --= ---. 4 4 2

Jego objętość jest równa

 √ -- √ -- V = 1-a2 ⋅ SR = 1-⋅2⋅ --2-= --2. 3 3 2 3

Z drugiej strony, ze wzoru podanego w treści zdania mamy

 ∘ ----------------- ∘ -------------------- √ -- 1 1 V = k⋅P 3 ⋅sin αco s(2α) = k⋅(2 2 )3 ⋅-⋅ --= ∘ --------- 2 2 8k ⋅2√ 2 ∘ --√--- = ---------= 4k 2. 4

Mamy zatem

∘ --√--- √ -- 4k 2 = V = --2- /()2 3 -- √ -- 2 2 √ 2 4k 2 = -- ⇒ k = --√---= ----. 9 36 2 36

 
Odpowiedź:  √- k = 326-

Wersja PDF
spinner