Zadanie nr 3831346
W ostrosłup prawidłowy czworokątny wpisano kulę o promieniu . Ściana boczna ostrosłupa nachylona jest do płaszczyzny podstawy pod kątem
. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Rozwiązanie
Zaczynamy od rysunku.
Podana informacja o promieniu kuli wpisanej w ostrosłup, oznacza w szczególności, że promień okręgu wpisanego w trójkąt jest równy
. To zaś pozwala nam łatwo obliczyć krawędź podstawy. Patrzymy na trójkąt
.
![FE --- = ctg α ⇒ AB = 2F E = 2rctg α. r](https://img.zadania.info/zad/3831346/HzadR4x.gif)
Z trójkąta obliczamy długość wysokości
ostrosłupa.
![SF- FE = tg2α ⇒ SF = rctg αtg 2α.](https://img.zadania.info/zad/3831346/HzadR7x.gif)
Możemy teraz policzyć objętość ostrosłupa.
![V = 1-AB 2 ⋅SF = 1⋅ 4r2ctg2α ⋅r ctg α tg 2α = 4r3 ctg 3α tg 2α. 3 3 3](https://img.zadania.info/zad/3831346/HzadR8x.gif)
Odpowiedź: