/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy czworokątny/Objętość

Zadanie nr 3831346

W ostrosłup prawidłowy czworokątny wpisano kulę o promieniu r . Ściana boczna ostrosłupa nachylona jest do płaszczyzny podstawy pod kątem 2α . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

Podana informacja o promieniu kuli wpisanej w ostrosłup, oznacza w szczególności, że promień okręgu wpisanego w trójkąt GES jest równy r . To zaś pozwala nam łatwo obliczyć krawędź podstawy. Patrzymy na trójkąt F EO .

FE --- = ctg α ⇒ AB = 2F E = 2rctg α. r

Z trójkąta F ES obliczamy długość wysokości SF ostrosłupa.

SF- FE = tg2α ⇒ SF = rctg αtg 2α.

Możemy teraz policzyć objętość ostrosłupa.

V = 1-AB 2 ⋅SF = 1⋅ 4r2ctg2α ⋅r ctg α tg 2α = 4r3 ctg 3α tg 2α. 3 3 3

 
Odpowiedź: 4 3 3 4r3tg2α- 3 r ctg α tg2α = 3tg3α

Wersja PDF