Zadanie nr 4938334
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość . Kąt między krawędzią boczną, a krawędzią podstawy ma miarę
(zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Rozwiązanie
Dorysujmy wysokość ostrosłupa oraz wysokość ściany bocznej.
Ponieważ znamy długość krawędzi podstawy, wystarczy obliczyć wysokość ostrosłupa.
Sposób I
Najpierw z trójkąta obliczamy wysokość ściany bocznej.
![SF a --- = tg α ⇒ SF = BF tg α = --tgα . BF 2](https://img.zadania.info/zad/4938334/HzadR3x.gif)
Teraz korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie .
![∘ ----------- ∘ -2----------2 ∘ --------- H = SF 2 − EF 2 = a--tg2α − a--= a- tg2α − 1 . 4 4 2](https://img.zadania.info/zad/4938334/HzadR5x.gif)
W takim razie objętość ostrosłupa jest równa
![∘ --------- 3∘ --------- V = 1-⋅a2 ⋅H = 1-⋅a 2 ⋅ a tg2α − 1 = a-- tg 2α − 1. 3 3 2 6](https://img.zadania.info/zad/4938334/HzadR6x.gif)
Sposób II
Tym razem obliczymy najpierw długość krawędzi bocznej ostrosłupa.
![BF BF a SB- = cosα ⇒ SB = cos-α = 2cos-α.](https://img.zadania.info/zad/4938334/HzadR7x.gif)
Teraz korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie .
![┌ --------------------- ----------- ││ ( √ --) 2 ∘ --------------- ∘ 2 2 ∘ --a-2--- a--2- ---a2--- 2a2- H = SB − EB = 4co s2α − 2 = 4 cos2α − 4 = ∘ ----------- ∘ ------------ a 1 a 1− 2cos2 α a √ --------- = -- ----2- − 2 = -- ------2-----= ------- − cos2α . 2 co s α 2 co s α 2cos α](https://img.zadania.info/zad/4938334/HzadR9x.gif)
W powyższym przekształceniu korzystaliśmy z tego, że i
. Liczymy teraz objętość ostrosłupa.
![1-2 1- 2 --a---√ --------- --a3---√ --------- V = 3a H = 3 a ⋅ 2cos α − cos2α = 6 cosα − cos 2α.](https://img.zadania.info/zad/4938334/HzadR12x.gif)
Odpowiedź: