/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy czworokątny/Objętość

Zadanie nr 4938334

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość a . Kąt między krawędzią boczną, a krawędzią podstawy ma miarę α > 4 5∘ (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy wysokość ostrosłupa oraz wysokość ściany bocznej.

PIC

Ponieważ znamy długość krawędzi podstawy, wystarczy obliczyć wysokość H ostrosłupa.

Sposób I

Najpierw z trójkąta SBF obliczamy wysokość ściany bocznej.

SF a --- = tg α ⇒ SF = BF tg α = --tgα . BF 2

Teraz korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie SEF .

∘ ----------- ∘ -2----------2 ∘ --------- H = SF 2 − EF 2 = a--tg2α − a--= a- tg2α − 1 . 4 4 2

W takim razie objętość ostrosłupa jest równa

∘ --------- 3∘ --------- V = 1-⋅a2 ⋅H = 1-⋅a 2 ⋅ a tg2α − 1 = a-- tg 2α − 1. 3 3 2 6

Sposób II

Tym razem obliczymy najpierw długość krawędzi bocznej ostrosłupa.

BF BF a SB- = cosα ⇒ SB = cos-α = 2cos-α.

Teraz korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie SEB .

┌ --------------------- ----------- ││ ( √ --) 2 ∘ --------------- ∘ 2 2 ∘ --a-2--- a--2- ---a2--- 2a2- H = SB − EB = 4co s2α − 2 = 4 cos2α − 4 = ∘ ----------- ∘ ------------ a 1 a 1− 2cos2 α a √ --------- = -- ----2- − 2 = -- ------2-----= ------- − cos2α . 2 co s α 2 co s α 2cos α

W powyższym przekształceniu korzystaliśmy z tego, że cos α > 0 i cos2α < 0 . Liczymy teraz objętość ostrosłupa.

1-2 1- 2 --a---√ --------- --a3---√ --------- V = 3a H = 3 a ⋅ 2cos α − cos2α = 6 cosα − cos 2α.

 
Odpowiedź: ∘ --------- a3 2 --a3-√ --------- V = 6 tg α− 1 = 6 cosα − cos2α

Wersja PDF