Zadanie nr 5197817
Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 8. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem takim, że
. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Rozwiązanie
Zaczynamy oczywiście od rysunku.
Widać, że trójkąt prostokątny pozwala nam powiązać długość wysokości ostrosłupa z długością przekątnej jego podstawy.
![SE--= tg α AE SE AE = ---- tg α 1- -8-- -16- 2 AC = tg α ⇒ AC = tg α.](https://img.zadania.info/zad/5197817/HzadR2x.gif)
Zanim przekształcimy to wyrażenie dalej, obliczmy .
![∘ ------- ∘ --- ∘ ---------- 9 16 4 sin α = 1− co s2α = 1− ---= ---= -- 25 25 5 -sin-α 45- 4- tg α = co sα = 3 = 3. 5](https://img.zadania.info/zad/5197817/HzadR4x.gif)
Jeżeli oznaczymy długość krawędzi podstawy ostrosłupa przez , to
i mamy
![√ -- a 2 = -16-= 16-= 12 ⇒ a = 1√2-. tgα 43 2](https://img.zadania.info/zad/5197817/HzadR7x.gif)
Zatem objętość ostrosłupa jest równa
![1 1 V = --a2 ⋅8 = --⋅72⋅ 8 = 192. 3 3](https://img.zadania.info/zad/5197817/HzadR8x.gif)
Odpowiedź: 192