/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy czworokątny/Objętość

Zadanie nr 5197817

Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 8. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α takim, że cosα = 35 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku.

PIC

Widać, że trójkąt prostokątny AES pozwala nam powiązać długość wysokości ostrosłupa z długością przekątnej jego podstawy.

SE--= tg α AE SE AE = ---- tg α 1- -8-- -16- 2 AC = tg α ⇒ AC = tg α.

Zanim przekształcimy to wyrażenie dalej, obliczmy tgα .

∘ ------- ∘ --- ∘ ---------- 9 16 4 sin α = 1− co s2α = 1− ---= ---= -- 25 25 5 -sin-α 45- 4- tg α = co sα = 3 = 3. 5

Jeżeli oznaczymy długość krawędzi podstawy ostrosłupa przez a , to √ -- AC = a 2 i mamy

√ -- a 2 = -16-= 16-= 12 ⇒ a = 1√2-. tgα 43 2

Zatem objętość ostrosłupa jest równa

1 1 V = --a2 ⋅8 = --⋅72⋅ 8 = 192. 3 3

 
Odpowiedź: 192

Wersja PDF