Zadanie nr 5828933
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o podstawie i wierzchołku
. Pole trójkąta
jest równe
, krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy
. Oblicz objętość ostrosłupa.
Rozwiązanie
Zaczynamy od rysunku
Odcinek jest przekątną kwadratu o boku długości
, więc jej długość wynosi
. Zapisujemy układ równań wynikający z założeń
![( √ -- √ -- { 1⋅ a 2⋅h = 20 2 2 -h- ( tg α = a√2. 2](https://img.zadania.info/zad/5828933/HzadR4x.gif)
Stąd
![{ ah√ = 40 542-= -2√h-. a 2](https://img.zadania.info/zad/5828933/HzadR5x.gif)
Wyznaczamy z drugiego równania
![5 10a = 8h ⇒ h = 4a](https://img.zadania.info/zad/5828933/HzadR7x.gif)
i podstawiamy do pierwszego równania.
![5-2 4a = 4 0 2 √ -- a = 32 ⇒ a = 4 2.](https://img.zadania.info/zad/5828933/HzadR8x.gif)
Zatem
![√ -- √ -- h = 5⋅ 4 2 = 5 2. 4](https://img.zadania.info/zad/5828933/HzadR9x.gif)
Teraz już łatwo policzyć objętość
![1 1 √ -- 160 √ -- V = -a2h = -⋅ 32⋅5 2 = ---- 2. 3 3 3](https://img.zadania.info/zad/5828933/HzadR10x.gif)
Odpowiedź: