Zadanie nr 6112798
Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 12 (zobacz rysunek). Krawędź boczna tworzy z wysokością tego ostrosłupa kąt
taki, że
. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Rozwiązanie
Oznaczmy przez wysokość ostrosłupa. Wtedy z podanego tangensa kąta
mamy
![√2--= tg α = AO--= AO-- ⇒ AO = √2-H . 5 SO H 5](https://img.zadania.info/zad/6112798/HzadR2x.gif)
Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym .
![2 2 2 AS = AO + SO 4 9 5 1 44 = --H 2 + H 2 = -H 2 / ⋅ -- 5 5 9 √ -- H 2 = 144 ⋅ 5-= 16 ⋅5 ⇒ H = 4 5 . 9](https://img.zadania.info/zad/6112798/HzadR4x.gif)
Jeżeli ponadto oznaczymy , to
![1 √ -- 2 2 --⋅a 2 = AO = √---H = 8 / ⋅ √--- 2 5 2 16 √ -- a = √---= 8 2 . 2](https://img.zadania.info/zad/6112798/HzadR6x.gif)
Objętość ostrosłupa jest więc równa
![1 1 √ -- √ -- 512√ 5- V = --⋅a2 ⋅H = --⋅(8 2)2 ⋅4 5 = ------. 3 3 3](https://img.zadania.info/zad/6112798/HzadR7x.gif)
Odpowiedź: