Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6112798

Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest równa 12 (zobacz rysunek). Krawędź boczna tworzy z wysokością tego ostrosłupa kąt α taki, że tg α = 2√-- 5 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.


PIC


Wersja PDF
Rozwiązanie

Oznaczmy przez H wysokość ostrosłupa. Wtedy z podanego tangensa kąta α mamy

√2--= tg α = AO--= AO-- ⇒ AO = √2-H . 5 SO H 5

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym AOS .

 2 2 2 AS = AO + SO 4 9 5 1 44 = --H 2 + H 2 = -H 2 / ⋅ -- 5 5 9 √ -- H 2 = 144 ⋅ 5-= 16 ⋅5 ⇒ H = 4 5 . 9

Jeżeli ponadto oznaczymy AB = BC = a , to

1 √ -- 2 2 --⋅a 2 = AO = √---H = 8 / ⋅ √--- 2 5 2 16 √ -- a = √---= 8 2 . 2

Objętość ostrosłupa jest więc równa

 1 1 √ -- √ -- 512√ 5- V = --⋅a2 ⋅H = --⋅(8 2)2 ⋅4 5 = ------. 3 3 3

 
Odpowiedź:  512√5 V = 3

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!