/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy czworokątny/Objętość

Zadanie nr 6112798

Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest równa 12 (zobacz rysunek). Krawędź boczna tworzy z wysokością tego ostrosłupa kąt α taki, że tg α = 2√-- 5 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy przez H wysokość ostrosłupa. Wtedy z podanego tangensa kąta α mamy

√2--= tg α = AO--= AO-- ⇒ AO = √2-H . 5 SO H 5

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym AOS .

2 2 2 AS = AO + SO 4 9 5 1 44 = --H 2 + H 2 = -H 2 / ⋅ -- 5 5 9 √ -- H 2 = 144 ⋅ 5-= 16 ⋅5 ⇒ H = 4 5 . 9

Jeżeli ponadto oznaczymy AB = BC = a , to

1 √ -- 2 2 --⋅a 2 = AO = √---H = 8 / ⋅ √--- 2 5 2 16 √ -- a = √---= 8 2 . 2

Objętość ostrosłupa jest więc równa

1 1 √ -- √ -- 512√ 5- V = --⋅a2 ⋅H = --⋅(8 2)2 ⋅4 5 = ------. 3 3 3

 
Odpowiedź: 512√5 V = 3

Wersja PDF