/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy czworokątny/Objętość

Zadanie nr 7934657

Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego tworzy ze ścianą boczną kąt o mierze 60 ∘ . Pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest równe √ -- 72 3 cm 2 . Oblicz objętość ostrosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Oznaczmy przez a długość krawędzi podstawy ostrosłupa, przez H długość jego wysokości, a przez h długość wysokości ściany bocznej.

Z trójkąta FES mamy

√ -- F E ∘ 1 a a a 3 --- = sin 60 ⇒ h = 2√-- = √---= ----- SF -23 3 3 √ -- H- = cos60 ∘ ⇒ H = 1-h = a--3-. h 2 6

Pole ściany bocznej jest równe 1ah 2 , więc wiemy, że

1- √ -- 4 ⋅2 ah = 72 3 √ -- √ -- 2a ⋅ a--3 = 72 3 / ⋅-√3-- 3 2 3 a2 = 108 = 36 ⋅3 √ -- a = 6 3.

Liczymy objętość ostrosłupa

√ -- √ -- √ -- 1 2 1 2 a 3 3 3 √ -- 3 V = -a ⋅H = --a ⋅ -----= a ⋅----= 216 ⋅3⋅ 3⋅ ----= 108 . 3 3 6 18 18

 
Odpowiedź: 3 108 cm

Wersja PDF