Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8071498

Podstawą ostrosłupa prawidłowego ABCDS jest kwadrat ABCD . Punkt M jest środkiem odcinka AB , a punkt N jest środkiem odcinka BC . Trójkąt MNS jest równoboczny i jego bok ma długość m . Oblicz objętość ostrosłupa ABCDS i kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku.


PIC


Odcinek MN jest odcinkiem łączącym środki boków w trójkącie ABC , więc jeżeli oznaczymy przez a długość boku kwadratu w podstawie ostrosłupa, to

 √ -- 2m-- √ -- a 2 = AC = 2MN = 2m ⇒ a = √ 2-= m 2.

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym MOS .

 ∘ ------------- ∘ ------------- ( ) 2 ∘ ------------- H = SO = SM 2 − MO 2 = m 2 − 1a = m 2 − 1-⋅2m 2 = 2 4 ∘ ----- √ -- = 1-m 2 = --2m . 2 2

Objętość ostrosłupa jest więc równa

 √ -- √ -- 1 1 2 2 V = --a2 ⋅H = --⋅2m 2 ⋅---m = ---m 3. 3 3 2 3

Kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy obliczamy z trójkąta SMO .

 √2- √ -- sin ∡SMO = SO-- = -2-m- = --2. SM m 2

Zatem ∡SMO = 45 ∘ .  
Odpowiedź:  √ - V = --2m3 3 , α = 45∘

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!