/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy czworokątny/Objętość

Zadanie nr 8353786

Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest równa 12 (zobacz rysunek). Krawędź boczna tworzy z wysokością tego ostrosłupa kąt α taki, że tg α = 3√-- 7 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy przez H wysokość ostrosłupa. Wtedy z podanego tangensa kąta α mamy

√3--= tg α = AO--= AO-- ⇒ AO = √3-H . 7 SO H 7

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym AOS .

2 2 2 AS = AO + SO 9 16 7 1 44 = --H 2 + H 2 = --H 2 / ⋅ --- 7 7 16 √ -- H 2 = 144 ⋅-7-= 9 ⋅7 ⇒ H = 3 7 . 16

Jeżeli ponadto oznaczymy AB = BC = a , to

1 √ -- 3 2 --⋅a 2 = AO = √---H = 9 / ⋅ √--- 2 7 2 18 √ -- a = √---= 9 2 . 2

Objętość ostrosłupa jest więc równa

1 1 √ -- √ -- √ -- V = --⋅a2 ⋅H = --⋅(9 2 )2 ⋅3 7 = 162 7. 3 3

 
Odpowiedź: √ -- V = 162 7

Wersja PDF