Zadanie nr 8353786
Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 12 (zobacz rysunek). Krawędź boczna tworzy z wysokością tego ostrosłupa kąt
taki, że
. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Rozwiązanie
Oznaczmy przez wysokość ostrosłupa. Wtedy z podanego tangensa kąta
mamy
![√3--= tg α = AO--= AO-- ⇒ AO = √3-H . 7 SO H 7](https://img.zadania.info/zad/8353786/HzadR2x.gif)
Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym .
![2 2 2 AS = AO + SO 9 16 7 1 44 = --H 2 + H 2 = --H 2 / ⋅ --- 7 7 16 √ -- H 2 = 144 ⋅-7-= 9 ⋅7 ⇒ H = 3 7 . 16](https://img.zadania.info/zad/8353786/HzadR4x.gif)
Jeżeli ponadto oznaczymy , to
![1 √ -- 3 2 --⋅a 2 = AO = √---H = 9 / ⋅ √--- 2 7 2 18 √ -- a = √---= 9 2 . 2](https://img.zadania.info/zad/8353786/HzadR6x.gif)
Objętość ostrosłupa jest więc równa
![1 1 √ -- √ -- √ -- V = --⋅a2 ⋅H = --⋅(9 2 )2 ⋅3 7 = 162 7. 3 3](https://img.zadania.info/zad/8353786/HzadR7x.gif)
Odpowiedź: