Zadanie nr 8560199
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna ma długość 6, a kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa ma miarę
. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia z rysunku.
Z trójkąta prostokątnego mamy
![√ -- EF- = cos30 ∘ = --3- ⇒ SF = 2√EF-- ⇒ h = √a-. SF 2 3 3](https://img.zadania.info/zad/8560199/HzadR2x.gif)
Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny .
![SB 2 = BF 2 + SF 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 36 = a- 2 + √a-- = a--+ a--= 7a-- 2 3 4 3 12 2 2 √ --- a2 = 3-⋅12- = 21⋅-12-- ⇒ a = 12--21-. 7 72 7](https://img.zadania.info/zad/8560199/HzadR4x.gif)
Obliczamy teraz wysokość ostrosłupa.
![√ -- √ -- √ -- √ --- √ -- √ -- -H- = tg30∘ = --3- ⇒ H = --3-⋅ 1a = --3-⋅ 12--21 = 1-2--7 = 6--7. EF 3 3 2 3 1 4 14 7](https://img.zadania.info/zad/8560199/HzadR5x.gif)
Objętość ostrosłupa jest więc równa
![√ -- √ -- 1 1 3⋅1 22 6 7 864 7 V = -a 2 ⋅H = --⋅ ------⋅ -----= -------. 3 3 7 7 49](https://img.zadania.info/zad/8560199/HzadR6x.gif)
Odpowiedź: