/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy czworokątny/Objętość

Zadanie nr 8560199

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS krawędź boczna ma długość 6, a kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa ma miarę 30∘ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia z rysunku.

PIC

Z trójkąta prostokątnego SEF mamy

√ -- EF- = cos30 ∘ = --3- ⇒ SF = 2√EF-- ⇒ h = √a-. SF 2 3 3

Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny BF S .

SB 2 = BF 2 + SF 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 36 = a- 2 + √a-- = a--+ a--= 7a-- 2 3 4 3 12 2 2 √ --- a2 = 3-⋅12- = 21⋅-12-- ⇒ a = 12--21-. 7 72 7

Obliczamy teraz wysokość ostrosłupa.

√ -- √ -- √ -- √ --- √ -- √ -- -H- = tg30∘ = --3- ⇒ H = --3-⋅ 1a = --3-⋅ 12--21 = 1-2--7 = 6--7. EF 3 3 2 3 1 4 14 7

Objętość ostrosłupa jest więc równa

√ -- √ -- 1 1 3⋅1 22 6 7 864 7 V = -a 2 ⋅H = --⋅ ------⋅ -----= -------. 3 3 7 7 49

 
Odpowiedź: 864√7 49

Wersja PDF