/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy czworokątny/Objętość

Zadanie nr 8616761

Przedstawiona na rysunku bryła to ostrosłup prawidłowy czworokątny ścięty płaszczyzną równoległą do jego płaszczyzny podstawy. Wysokość tej bryły jest równa H , a a i b (a > b ) są długościami krawędzi jego podstaw. Oblicz objętość tej bryły.

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy brakującą część ostrosłupa.

PIC

Jeżeli H 1 jest wysokością odciętego ostrosłupa, to z podobieństwa trójkątów KAS i LBS mamy

SK- = KA-- SL LB - a√-2- H--+-H-1 = -√2- H1 b-2- 2 -H- + 1 = a- H 1 b H a− b Hb --- = ------ ⇒ H 1 = -----. H 1 b a − b

Liczymy teraz objętość ściętego ostrosłupa

1 1 1 1 V = -a 2 ⋅(H + H 1)− -b2 ⋅H 1 = -a2H + --H 1(a2 − b 2) = 3 3 3 3 = 1a 2H + 1⋅ -Hb--⋅ (a− b )(a+ b ) = 3 3 a− b 1 2 1 1 ( 2 2) = -a H + -Hb (a + b) = --H a + ab + b . 3 3 3

 
Odpowiedź: 1 ( 2 2) V = 3H a + ab+ b

Wersja PDF