W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym dane są: H -- wysokość... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Objętość, 8897969

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy czworokątny/Objętość

Zadanie nr 8897969

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym dane są: $H$ – wysokość ostrosłupa oraz $α$ — miara kąta utworzonego przez krawędź boczną i krawędź podstawy ( $45∘ < α < 90∘$ ).

Wykaż, że objętość $V$ tego ostrosłupa jest równa $4⋅ -H-3-- 3 tg2α−1$ .
Oblicz miarę kąta $α$ , dla której objętość $V$ danego ostrosłupa jest równa $2 3 9H$ . Wynik podaj w zaookrągleniu do całkowitej liczby stopni.

Rozwiązanie

Ponieważ mamy daną wysokość ostrosłupa, wystarczy wyliczyć pole podstawy. Długość krawędzi podstawy możemy wyliczyć z trójkąta prostokątnego $EFS$ – jeden z jego boków jest równy połowie krawędzi podstawy, a drugi bok wyliczymy z trójkąta $BFS$ . Oznaczmy $AB = 2a$ (żeby nie mieć ułamków) i liczymy $SF- BF = tgα SF = a tg α H 2 = SE 2 = SF 2 − EF 2 = a2tg2 α− a2 2 a2 = ---H----- tg2α − 1$
Zatem objętość jest równa
$1 4 H 3 V = --⋅4a 2 ⋅H = --⋅ --2-----. 3 3 tg α − 1$
Musimy rozwiązać równanie $4 H 3 2 --⋅---------= --H 3 3 tg2α − 1 9 6 = tg2α − 1 tg2α = 7.$
Ponieważ $tg α > 0$ (bo $∘ ∘ 45 < α < 90$ ), więc $√ -- tg α = 7 ≈ 2,6$ . Miarę kąta $α$ odczytujemy z tablic. $∘ α ≈ 69$ .
Odpowiedź: $α ≈ 69∘$