Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9127300

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDS o podstawie ABCD wysokość jest równa 5, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę 1 20∘ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Aby zaznaczyć kąt między dwoma sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa dorysowujemy dwie wysokości BE i DE sąsiednich ścian bocznych.


PIC


Płaszczyzna BED jest prostopadła do prostej SC (bo zawiera dwie nierównoległe proste prostopadłe do SC ), więc kąt BED jest kątem między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa.

Jeżeli oznaczymy długość krawędzi podstawy przez a , to mamy

 -- 1 √ -- a√ 2 OB = OC = -a 2 = ----. 2 2

Sposób I

Z trójkąta prostokątnego BOE obliczamy długość odcinka OE .

 √ - OB √ -- OB a--2 a √ 2- ----= tg 60∘ = 3 ⇒ OE = √---= √-2- = --√--. OE 3 3 2 3

Korzystamy teraz z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym OCE .

 ∘ -------- ∘ --- ∘ ----2------2 a2- a2- a2- -a-- EC = OC − OE = 2 − 6 = 3 = √ --. 3

Zauważmy teraz, że trójkąty SOC i OEC są oba prostokątne i mają wspólny kąt przy wierzchołku C . Są więc podobne i mamy

 OS-- OE-- OC = EC a√2- --5- 2√3- a√ 2 = √a- -2-- 3- 10 √ 2 -√---= ---- ⇒ a = 10. a 2 2

Pozostało jeszcze obliczyć objętość ostrosłupa

 1 1 500 V = --⋅Pp ⋅H = --⋅10 0⋅5 = ----. 3 3 3

Sposób II

Stosujemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym SOC .

 ∘ --------- √ ---------- ∘ ------------ 2a2 100+ 2a2 SC = SO 2 + OC 2 = 25 + ----= ------------. 4 2

Obliczamy teraz długość odcinka OE – można to zrobić porównując dwa wzory na pole trójkąta prostokątnego SOC (OE jest wysokością tego trójkąta), ale my zrobimy to inaczej – korzystamy z podobieństwa trójkątów prostokątnych SOC i SEO .

 √- OE OC a22- 5a ----= ---- ⇒ OE = -√100+2a2⋅ 5 = √-------2-. SO SC ---2---- 50 + a

Teraz patrzymy na trójkąt prostokątny BOE . Mamy w nim

 √ -- √ -- OB--= tg 60∘ = 3 ⇒ OB = 3 ⋅OE O√E-- a 2 √ -- 5a -----= 3 ⋅√---------= / ()2 2 5 0+ a 2 a2 75a2 2(50+ a2) ---= ------2- / ⋅ -----2----- 22 50+ a 2 a 50 + a = 15 0 ⇒ a = 100 ⇒ a = 10.

Pozostało jeszcze obliczyć objętość ostrosłupa

V = 1-⋅P ⋅H = 1-⋅10 0⋅5 = 500-. 3 p 3 3

 
Odpowiedź: V = 5030

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!