Zadanie nr 2386073

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD . Trójkąt równoramienny ASD ma ramię długości 15 i jest prostopadły do podstawy ostrosłupa. Krawędź ma długość 17. Oblicz cosinus kąta nachylenia płaszczyzny BCE do płaszczyzny podstawy, gdzie jest środkiem krawędzi .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od rysunku.

Przekrój ostrosłupa płaszczyzną BCE jest trapezem równoramiennym BCF E , gdzie i środki krawędzi i . Kąt między płaszczyzną BCF E , a płaszczyzną podstawy otrzymamy przecinając te płaszczyzny płaszczyzną prostopadłą do ich wspólnej krawędzi . Jeżeli poprowadzimy ten przekrój przez punkt , to otrzymamy trójkąt MKE , gdzie to wysokość trapezu BCF E , a rzut punktu na płaszczyznę podstawy. Musimy zatem obliczyć długości odcinków i .

Zauważmy, że trójkąt ABS jest prostokątny (bo prosta jest prostopadła do płaszczyzny ADS ). To pozwala obliczyć długość krawędzi kwadratu w podstawie.

∘ ----------- ∘ ---------- AB = SB 2 − SA 2 = 1 72 − 1 52 = 8.

Długość odcinka obliczymy na dwa sposoby.

Sposób I

Wiemy jakie są długości podstaw trapezu BCF E : 1 BC = 8,EF = 2AD = 4 . Potrzebujemy jeszcze jego wysokości. Obliczmy najpierw długość odcinka . Pamiętamy, że ∡BAS = 90 ∘ , zatem