Zadanie nr 3572803

Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoramienny ABC , w którym |AB | = 10 , |BC | = |AC | = 1 3 i spodek wysokości ostrosłupa należy do jego podstawy. Każda wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka ma długość 26 3 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od szkicowego rysunku.

Niech SD ,SE ,SF będą wysokościami ścian bocznych, a niech będzie wysokością ostrosłupa. Zauważmy, że płaszczyzna SGD zawiera dwa odcinki ( i ) prostopadłe do prostej , więc jest prostopadła do tej prostej. W szczególności odcinek jest prostopadły do . Analogicznie uzasadniamy, że odcinki i są prostopadłe odpowiednio do i .

Zauważmy ponadto, że trójkąty SGD ,SGE i SGF są przystające (bo są prostokątne i mają dwa boki tej samej długości). To oznacza, że GD = GE = GF , czyli jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC oraz GD = GE = GF = r , gdzie promień okręgu wpisanego w podstawę ostrosłupa.