Zadanie nr 6566476
Podstawą ostrosłupa jest romb, którego pole wynosi 
, a kąt ostry rombu ma miarę 
. Wysokość ostrosłupa jest równa 24 cm, a spodek tej wysokości jest środkiem okręgu wpisanego w podstawę. Oblicz:
- promień tego okręgu,
- pole powierzchni bocznej ostrosłupa.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od rysunku.
Zauważmy, że podanego pola i kąta ostrego rombu łatwo obliczyć długość jego boku (korzystając ze wzoru na pole z sinusem).
Promień okręgu wpisanego w romb to połowa jego wysokości, a wysokość łatwo obliczyć, gdy znamy pole i bok rombu.
Jeżeli 
jest środkiem okręgu wpisanego w romb w podstawie, a 
jest rzutem punktu 
na krawędź 
, to płaszczyzna 
jest prostopadła do krawędzi 
(bo zawiera dwie proste: 
i 
prostopadłe do 
). w takim razie 
jest wysokością ściany bocznej. Z trójkąta prostokątnego 
mamy
Ponieważ spodek wysokości jest środkiem okręgu wpisanego w podstawę, dokładnie w ten sam sposób możemy obliczyć wysokości pozostałych ścian bocznych, więc wszystkie te wysokości będą miały tę samą długość. Pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest więc równe
Odpowiedź: Promień: 10 cm, pole boczne: 
