Zadanie nr 8925501

Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt ABC , w którym |AB | = 4, |BC | = 6 , |CA | = 8 . Wszystkie ściany boczne tworzą z płaszczyzną podstawy kąt 60∘ . Oblicz objętość ostrosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od dużego rysunku.

Na rysunku narysowaliśmy wysokości ścian bocznych, żeby móc zaznaczyć kąty nachylenia tych ścian do płaszczyzny podstawy. Ponieważ wszystkie ściany boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem, trójkąty prostokątne KOS ,LOS ,MOS są przystające, czyli KO = LO = MO , co oznacza, że spodek wysokości jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC . W takim razie do wyliczenia długości wysokości ostrosłupa brakuje nam długości promienia okręgu wpisanego w trójkąt ABC (bo wtedy skorzystamy z podanego kąta 60∘ w trójkącie KOS ). Długość promienia okręgu wpisanego możemy obliczyć ze wzoru P = pr na pole trójkąta. Najpierw musimy jednak obliczyć to pole. Zrobimy to na dwa sposoby.

Sposób I

Korzystamy ze wzoru Herona na pole trójkąta

∘ ----------------------- P = p(p − a)(p − b )(p − c),

gdzie p = a+b+c- 2 jest połową obwodu. W naszej sytuacji mamy

4+-6-+-8-- p = 2 = 9

i pole jest równe

∘ ---------------------------- √ ------- √ --- P = 9 ⋅(9 − 4) ⋅(9− 6)⋅(9 − 8 ) = 9⋅5 ⋅3 = 3 15.

Możemy teraz obliczyć promień okręgu wpisanego.

√ --- √ --- P 3 15 15 r = -p = --9---= -3--.

Obliczamy teraz wysokość

SO √ -- √ -- √ 1-5 √ -- √ -- ----= tg 60∘ = 3 ⇒ SO = r 3 = -----⋅ 3 = 5. KO 3

Pozostało obliczyć objętość.

1 1 √ ---√ -- √ -- V = --P ⋅SO = --⋅3 15⋅ 5 = 5 3. 3 3

Sposób II

Pole trójkąta w podstawie możemy też obliczyć ze wzoru z sinusem, ale najpierw musimy obliczyć sinus jednego z kątów tego trójkąta. Robimy to przy pomocy twierdzenia cosinusów.