Zadanie nr 9646997

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest trapez ABCD . Przekątna tego trapezu ma długość √ -- 4 6 , jest prostopadła do ramienia i tworzy z dłuższą podstawą tego trapezu kąt o mierze 30∘ . Każda krawędź boczna tego ostrosłupa ma tę samą długość 9. Oblicz odległość spodka wysokości tego ostrosłupa od jego krawędzi bocznej .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od naszkicowania opisanej sytuacji – aby to zrobić zauważmy, że z treści wynika, że podstawami trapezu są odcinki i oraz |AB | > |CD | .

Zauważmy jeszcze, że z informacji o tym, że wszystkie krawędzie boczne mają tę samą długość wynika, że trójkąty prostokątne AES ,BES ,CES i DES są przystające, więc AE = BE = CE = DE , co z kolei oznacza, że spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na trapezie ABCD (w szczególności trapez ten musi być równoramienny).

Skupmy się teraz na obliczeniu promienia okręgu opisanego na trapezie ABCD . Można to zrobić korzystając z twierdzenia sinusów w trójkącie ABC , ale można też zrobić to prościej – wystarczy zauważyć, że średnicą okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym ABC jest przeciwprostokątna (nie będzie to nam potrzebne, ale to oznacza, że punkt jest tak naprawdę środkiem krawędzi ). Mamy zatem