Zadanie nr 1586493

W trójkącie ABC środkowa jest prostopadła do boku oraz |AB | = 2|AC | . Oblicz miarę kąta BAC .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

Oznaczmy ∡BAD = α .

Sposób I

Niech ∡ADC = β – wtedy ∘ ∡BDA = 180 − β . Piszemy teraz twierdzenia sinusów w trójkątach ADC i ADB .

AC DC -----= ------- ⇒ AC = DC sin β sin β sin9 0∘ AB BD sin-(180∘-−-β)-= sinα-.

Ponieważ ∘ sin (180 − β) = sin β , drugą równość możemy zapisać w postaci

BD sin α = ----sin β. AB

Mamy zatem (korzystamy z pierwszej równości i założenia AB = 2AC ).

BD DC AC 1 sin α = ----sin β = ---- sin β = ----= -. AB AB AB 2

W takim razie α = 30∘ i ∡BAC = 120 ∘ .

Sposób II

Zauważmy, że trójkąty BDA i CDA mają równe pola (bo mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka i podstawy tej samej długości). Na mocy wzoru na pole trójkąta z sinusem mamy

1-AB ⋅AD ⋅sinα = 1AD ⋅AC / ⋅ -2-- 2 2 AD AB sinα = AC .

Korzystamy teraz z równości AB = 2AC .

1 1 AB sinα = AC = 2AB ⇒ sin α = 2.

Zauważmy jeszcze, że kąt BAD musi być ostry, bo łącznie z kątem ∘ ∡DAC = 9 0 tworzy kąt trójkąta. Mamy zatem ∘ α = 30 oraz

∘ ∘ ∘ ∘ ∡BAC = α+ 90 = 30 + 9 0 = 120 .

Sposób III

Niech ′ A będzie odbiciem punktu względem punktu . Otrzymujemy w ten sposób równoległobok ABA ′C , w którym jest punktem przecięcia się przekątnych. Zauważmy, że trójkąt AA ′C jest prostokątny oraz