Zadanie nr 2812723

Na wysokości trójkąta ABC wybrano punkt taki, że |P D | = |P E| , gdzie i są rzutami tego punktu odpowiednio na boki i . Wiedząc, że -- tg ∡ABC = 2 √ 2 oblicz iloraz |BE|- |EC| .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od rysunku.

Sposób I

Zauważmy, że trójkąty prostokątne P DB i P EB mają równe dwa boki, więc są przystające. Zatem DB = EB . Ponadto, patrząc na trójkąt BCD mamy

-H-- √ -- √ -- DB = tg α = 2 2 ⇒ H = 2 2 ⋅DB .

Pisząc twierdzenie Pitagorasa w tym samym trójkącie mamy

DB 2 + DC 2 = BC 2 2 √ -- 2 2 DB + (2 2 ⋅DB ) = BC DB 2 + 8DB 2 = BC 2 9DB 2 = BC 2 ⇒ BC = 3DB = 3BE .

To oznacza, że

BE--= BE---= 1-. EC 2BE 2

Sposób II

Zauważmy, że trójkąty CEP i CDB są oba prostokątne i mają wspólny kąt ∡BCD = α , więc są podobne. Używając tego podobieństwa oraz podanego tangensa, wyliczymy długości odcinków i w zależności od H = |CD | .

Zauważmy od razu, że

CD √ -- H ---- = tg α = 2 2 ⇒ DB = --√--- DB ∘ -------2-- 2∘ ----- ∘ ------------ H 2 9H 2 3H BC = CD 2 + DB 2 = H 2 + --- = -----= -√--. 8 8 2 2

Z podobieństwa trójkątów CEP i CDB mamy

PE DB ----= ---- CP BC x -H√-- ------= 23H2 H − x 2√-2 x 1 ------= -- H − x 3 H- 3x = H − x ⇒ x = 4 .

Teraz łatwo wyliczyć długości odcinków i . Możemy wykorzystać twierdzenie Pitagorasa w trójkącie CEP , ale możemy też raz jeszcze skorzystać z podobieństwa.