/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny

Zadanie nr 3934640

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trójkącie ABC poprowadzono odcinki AD ,BE i CF w ten sposób, że punkty D ,E i F są środkami odpowiednio odcinków BE ,CF i AD . Oblicz pole trójkąta ABC jeżeli pole trójkąta DEF jest równe 2.

ZINFO-FIGURE

Rozwiązanie

Dorysujmy odcinki AE ,BF i CD .

ZINFO-FIGURE

Zauważmy teraz, że każde dwa z utworzonych trójkątów mają równe pola.
Trójkąty AF E i DEF mają wspólną wysokość opuszczoną z E , więc

PAFE AF ----- = ---- = 1 ⇒ PAFE = 2. PDEF DF

Trójkąty BF D i DEF mają wspólną wysokość opuszczoną z F , więc

PBFD- = BD-- = 1 ⇒ PBFD = 2. PDEF DE

Trójkąty CED i DEF mają wspólną wysokość opuszczoną z D , więc

PCED--= CE--= 1 ⇒ PCED = 2. PDEF EF

Analogicznie uzasadniamy, że

PABF = PBFD = 2 P = P = 2 BCD CED PCAE = PAFE = 2.

W takim razie

P = 7 ⋅P = 14. ABC DEF

 
Odpowiedź: 14

Wersja PDF