/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny

Zadanie nr 5183581

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że jeżeli kąty trójkąta: α,β,γ spełniają równanie 2 2 2 sin α = sin β + sin γ to trójkąt jest prostokątny.

Rozwiązanie

Szkicujemy trójkąt.

PIC

Zauważmy, że na mocy twierdzenia sinusów mamy

a a ----- = 2R ⇒ sin α = --- sin α 2R --b-- = 2R ⇒ sin β = -b- sin β 2R c c ----- = 2R ⇒ sinγ = ---. sin γ 2R

Zatem podany w treści warunek możemy zapisać w postaci

a2 b2 c2 ---- = ---- + ---- 4R 2 4R 2 4R 2 a2 = b2 + c2.

Zatem trójkąt jest prostokątny.

Wersja PDF