Zadanie nr 5287176

W trójkącie ostrokątnym ABC bok ma długość 18 cm, a wysokość jest równa 15 cm. Punkt dzieli bok tak, że |AD | : |DB | = 1 : 2 . Przez punkt leżący na odcinku poprowadzono prostą równoległą do prostej , odcinając od trójkąta ABC trójkąt, którego pole jest cztery razy mniejsze niż pole trójkąta ABC . Oblicz długość odcinka P B .

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku.

Ponieważ |AD | : |DB | = 1 : 2 i AB = 18 , mamy

AD = 1-AB = 6 3 2- DB = 3AB = 12.

Pole trójkąta ABC jest równe

P = 1-⋅18 ⋅15 = 9 ⋅15 = 1 35. ABC 2

Zatem pole trójkąta P BE jest równe

PPBE = 1PABC = 135. 4 4

Sposób I

Zauważmy, że trójkąty PBE i DBC są podobne. Pole pierwszego już znamy, a pole drugiego możemy łatwo wyliczyć

1 1 PDBC = --⋅DB ⋅DC = --⋅12 ⋅15 = 9 0. 2 2

Ponieważ pole zmienia się jak kwadrat skali podobieństwa, więc skala podobieństwa tych trójkątów jest równa

∘ ------ ∘ ---- ∘ --- ∘ -- √ -- √ -- PPBE-- 1345- 15- 3- ---3- --6- k = P = 90 = 40 = 8 = √ --= 4 . DBC 2 2

Mamy zatem

√ -- √ -- √ -- P-B-= k = --6- ⇒ PB = --6-⋅12 = 3 6 DB 4 4

Sposób II

Jeżeli oznaczymy P B = x i PE = y to wyliczonego pola trójkąta P BE mamy

1 135 1 35 -xy = ---- ⇒ xy = ----. 2 4 2

Tak jak poprzednio zauważamy, że trójkąty P BE i DBC są podobne, ale tym razem nie wyliczamy ich skali podobieństwa, tylko od razu piszemy iloraz odpowiadających boków.