Zadanie nr 6303090

W trójkącie ABC dane są: |AC | = 6 , |BC | = 10 i kąt ∘ ACB = 120 . Wyznacz długość środkowej tego trójkąta.

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

Plan jest następujący: najpierw obliczymy (z twierdzenia cosinusów) długość boku , a potem spróbujemy wykorzystać to, że odcinek jest wspólnym bokiem w dwóch trójkątach, w których znamy wszystkie pozostałe długości boków.

Długość boku obliczamy stosując twierdzenie cosinusów w trójkącie ABC .

2 2 2 ∘ AB = AC + BC − 2AC ⋅BC cos1 20 = = 36 + 10 0− 2 ⋅6 ⋅10 ⋅cos(180 ∘ − 60 ∘) = ∘ = 136 + 1 20cos 60 = 13 6+ 60 = 196.

Sąd AB = 14 .

Próbujemy teraz napisać twierdzenia cosinusów w trójkątach ADC i BDC tak, żeby otrzymać układ równań, z którego obliczymy x = CD . Trzeba jednak przy tym trochę uważać i wybrać odpowiednie kąty do twierdzenia cosinusów tak, aby móc je potem wyeliminować. Oznaczmy ∡ADC = α . Wtedy ∡BDC = 180 ∘ − α i